Počet riešení kvadratickej rovnice a rovnice s parametrom
Niekedy nepotrebuješ poznať riešenia, stačí vedieť, koľko ich je. Má rovnica x² − 4x + 5 = 0 riešenie? Netreba ju riešiť celú — stačí diskriminant: D = 16 − 20 = −4. Je záporný, takže rovnica riešenie nemá. Hotovo za pár sekúnd.
Rovnaký nápad pomôže aj pri rovniciach, v ktorých je okrem x ešte ďalšie písmeno — parameter.
Pre rovnicu ax² + bx + c = 0 vypočítaj D = b² − 4ac:
Diskriminant
Počet riešení v ℝ
D > 0
dve rôzne riešenia
D = 0
jedno (dvojnásobné) riešenie
D < 0
žiadne riešenie
Riešený príklad 1
Koľko riešení má rovnica 2x² − 3x − 4 = 0?
D = (−3)² − 4 · 2 · (−4) = 9 + 32 = 41 > 0. Rovnica má dve riešenia.
💡 Ak majú a a c opačné znamienka (ako tu 2 a −4), súčin −4ac je kladný a D je určite kladný. Takáto rovnica má vždy dve riešenia.
Riešený príklad 2
Koľko riešení má rovnica 4x² − 12x + 9 = 0?
D = (−12)² − 4 · 4 · 9 = 144 − 144 = 0. Rovnica má jedno riešenie. Naozaj: 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², riešením je x = 3/2.
Čo to znamená na grafe
Riešenia rovnice ax² + bx + c = 0 sú miesta, kde graf funkcie y = ax² + bx + c (parabola) pretína os x.
D > 0: parabola pretína os x v dvoch bodoch.
D = 0: parabola sa osi x len dotkne vrcholom.
D < 0: parabola leží celá nad osou x (alebo celá pod ňou).
Čo je parameter
V rovnici x² + mx + 9 = 0 je neznáma x a písmeno m je parameter — číslo, ktoré zatiaľ nepoznáme. Za m môžeme dosadiť hocijaké číslo a dostaneme konkrétnu rovnicu:
m = 10: x² + 10x + 9 = 0, D = 100 − 36 = 64 > 0, dve riešenia,
m = 6: x² + 6x + 9 = 0, D = 36 − 36 = 0, jedno riešenie,
m = 2: x² + 2x + 9 = 0, D = 4 − 36 = −32 < 0, žiadne riešenie.
Otázka znie: pre ktoré m má rovnica určitý počet riešení? Diskriminant vypočítame s písmenom m a podmienku vyriešime.
Kedy má rovnica dvojnásobný koreň
Dvojnásobný koreň znamená D = 0.
Riešený príklad 3
Pre ktoré m má rovnica x² + mx + 9 = 0 dvojnásobný koreň?
a = 1, b = m, c = 9.
D = m² − 4 · 1 · 9 = m² − 36.
D = 0: m² − 36 = 0, m² = 36.
m = 6 alebo m = −6.
Skúška pre m = 6: x² + 6x + 9 = (x + 3)², jediný koreň x = −3 ✓.
Riešený príklad 4
Pre ktoré m má rovnica x² − 6x + m = 0 dvojnásobný koreň?
D = (−6)² − 4 · 1 · m = 36 − 4m.
36 − 4m = 0, teda m = 9.
Riešený príklad 5 — parameter pri x²
Pre ktoré m má rovnica mx² − 4x + 1 = 0 dvojnásobný koreň?
Pozor: ak m = 0, rovnica je −4x + 1 = 0. To je lineárna rovnica, nie kvadratická. Preto m ≠ 0.
D = (−4)² − 4 · m · 1 = 16 − 4m.
16 − 4m = 0, teda m = 4.
Skúška: 4x² − 4x + 1 = (2x − 1)², jediný koreň x = 1/2 ✓.
Riešený príklad 6 — parameter v zátvorke
Pre ktoré m má rovnica x² + (m − 1)x + 4 = 0 dvojnásobný koreň?
b = m − 1, preto D = (m − 1)² − 16.
(m − 1)² = 16, teda m − 1 = 4 alebo m − 1 = −4.
m = 5 alebo m = −3.
Kedy má rovnica dve riešenia alebo žiadne
Namiesto rovnice D = 0 riešime nerovnicu.
Riešený príklad 7
Pre ktoré m má rovnica x² − 6x + m = 0 dve rôzne riešenia?
D = 36 − 4m.
D > 0: 36 − 4m > 0, teda 36 > 4m, m < 9.
A žiadne riešenie má pre D < 0, teda pre m > 9. Pre m = 9 má jedno riešenie (príklad 4).
Najčastejšie chyby
Zabudnutá druhá hodnota. Z m² = 36 vyplýva m = 6 aj m = −6.
Parameter pri x². Ak je m pri x², over, či m = 0 nedáva lineárnu rovnicu — tú vylúč.
Zámena D = 0 a D > 0. „Práve jedno riešenie“ je D = 0, „dve riešenia“ je D > 0.
Zlé b. V rovnici x² + (m − 1)x + 4 = 0 je b celé (m − 1), preto b² = (m − 1)².
V skratke
O počte riešení rozhoduje znamienko diskriminantu D = b² − 4ac.
Parameter je písmeno, za ktoré môžeme dosadiť ľubovoľné číslo.
Dvojnásobný koreň: vyrieš rovnicu D = 0.
Dve riešenia: D > 0, žiadne riešenie: D < 0.
Ak je parameter pri x², vylúč hodnotu, pri ktorej by x² zmizlo.
Skús si sám
Koľko riešení má rovnica 2x² − 3x + 5 = 0?
Koľko riešení má rovnica 4x² − 20x + 25 = 0?
Pre ktoré m má rovnica x² + mx + 16 = 0 dvojnásobný koreň?
Pre ktoré m má rovnica 2x² + 8x + m = 0 dvojnásobný koreň?
Pre ktoré m má rovnica x² + 4x + m = 0 dve rôzne riešenia?
