Neúplné kvadratické rovnice

Štvorcová izba má podlahu s obsahom 16 m². Aká dlhá je jej stena? Ak dĺžku steny označíme x, platí x² = 16. Ktoré číslo dá po umocnení 16? Číslo 4 — ale aj −4, lebo (−4)² = 16. Pri stene má zmysel len 4 m, samotná rovnica má však dve riešenia.

Rovnica, v ktorej je neznáma na druhú, je kvadratická rovnica. V tomto článku riešime tie najjednoduchšie — neúplné. Netreba na ne žiadny vzorec.

Čo je kvadratická rovnica

Každá kvadratická rovnica sa dá upraviť na tvar

ax² + bx + c = 0, kde a ≠ 0.

Čísla a, b, c sú koeficienty:

a je číslo pri x² (kvadratický člen),
b je číslo pri x (lineárny člen),
c je číslo bez x (absolútny člen).

Napríklad v rovnici 2x² − 3x + 1 = 0 je a = 2, b = −3, c = 1.

Rovnica je neúplná, keď b = 0 alebo c = 0 — teda keď v nej chýba člen s x alebo číslo bez x. Číslo a chýbať nesmie, inak by rovnica nebola kvadratická.

Rovnica bez člena s x

Rovnica typu ax² + c = 0 (b = 0) sa volá aj rýdzo kvadratická. Postup:

Osamostatni x² na jednej strane.
Odmocni. Nezabudni, že riešenia sú dve: kladné aj záporné. Zapisujeme to znakom ± („plus mínus“).

Riešený príklad 1

x² − 16 = 0

x² = 16
x = ±4, teda x₁ = 4, x₂ = −4.

Skúška: 4² − 16 = 0 ✓, (−4)² − 16 = 16 − 16 = 0 ✓.

Riešený príklad 2

3x² − 75 = 0

3x² = 75
x² = 25 (obe strany sme vydelili tromi)
x₁ = 5, x₂ = −5

Riešený príklad 3

4x² − 9 = 0

4x² = 9
x² = 9/4
x = ±3/2, teda x₁ = 3/2, x₂ = −3/2.

Riešený príklad 4

x² + 4 = 0

x² = −4
Druhá mocnina reálneho čísla nie je nikdy záporná: kladné číslo na druhú je kladné, záporné tiež, nula dá nulu.

Rovnica nemá riešenie v reálnych číslach.

💡 Ak vyjde x² = 7, riešenia sú x = ±√7. Odmocnina z čísla, ktoré nie je druhou mocninou, je tiež riešenie — len ho nezapíšeme celým číslom.

Rovnica bez čísla bez x

Rovnica typu ax² + bx = 0 (c = 0) má x v oboch členoch. Vyjmeme ho pred zátvorku:

x · (ax + b) = 0

Súčin je nula práve vtedy, keď je nula aspoň jeden činiteľ. Preto buď x = 0, alebo ax + b = 0.

Riešený príklad 5

x² − 5x = 0

x · (x − 5) = 0
x = 0 alebo x − 5 = 0
x₁ = 0, x₂ = 5

Skúška: 5² − 5 · 5 = 25 − 25 = 0 ✓.

Riešený príklad 6

2x² + 3x = 0

x · (2x + 3) = 0
x = 0 alebo 2x + 3 = 0, teda 2x = −3
x₁ = 0, x₂ = −3/2

⚠️ Rovnicu x² − 5x = 0 nedeľ číslom x! Dostal by si x − 5 = 0 a stratil by si riešenie x = 0. Deliť sa nesmie nulou — a x nulou byť môže.

Rovnice, ktoré treba najprv upraviť

Niekedy rovnica neúplná nevyzerá, ale po úprave ňou je.

Riešený príklad 7

(x − 3)² = 16

Výraz v zátvorke dáva po umocnení 16, preto sa rovná 4 alebo −4:

x − 3 = 4, teda x = 7,
x − 3 = −4, teda x = −1.

Riešenia: x₁ = −1, x₂ = 7. Skúška: (7 − 3)² = 4² = 16 ✓, (−1 − 3)² = (−4)² = 16 ✓.

Riešený príklad 8

x · (x − 4) = 2x

Roznásob: x² − 4x = 2x.
Presuň všetko na ľavú stranu: x² − 6x = 0.
Vyjmi x: x · (x − 6) = 0.
x₁ = 0, x₂ = 6.

Skúška pre x = 6: ľavá strana 6 · 2 = 12, pravá strana 2 · 6 = 12 ✓.

Najčastejšie chyby

Zabudnuté ±. Z x² = 25 vyplýva x = 5 aj x = −5, nie len x = 5.
Delenie neznámou. Z x² = 5x nevyplýva len x = 5. Správne je x² − 5x = 0, x(x − 5) = 0, teda x = 0 alebo x = 5.
Záporné číslo pod odmocninou. Z x² = −4 nevyplýva x = −2, lebo (−2)² = 4. Rovnica nemá riešenie.
Zlá úprava pred odmocnením. Pri 3x² = 75 najprv vydeľ tromi (x² = 25), až potom odmocni.

V skratke

Kvadratická rovnica má tvar ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.
Ak chýba člen s x (ax² + c = 0): osamostatni x² a odmocni, riešenia sú ±.
Ak x² vyjde záporné, rovnica nemá riešenie.
Ak chýba číslo bez x (ax² + bx = 0): vyjmi x pred zátvorku, jedno riešenie je vždy 0.
Neznámou nikdy nedeľ.

Skús si sám

x² − 49 = 0
5x² − 20 = 0
3x² − 12x = 0
9x² − 4 = 0
(x + 1)² = 25
2x² + 18 = 0

Riešenia:

x² = 49, x = ±7.
x² = 4, x = ±2.
3x(x − 4) = 0, x = 0 alebo x = 4.
x² = 4/9, x = ±2/3.
x + 1 = ±5, x = 4 alebo x = −6.
x² = −9, rovnica nemá riešenie.

Precvič si

✏️ Neúplné kvadratické rovnice
🧮 Kvadratická rovnica — diskriminant a vzorec

👉 Ďalej: Diskriminant a vzorec pre korene