Logaritmická funkcia

Exponenciálna funkcia y = 2ˣ urobí z čísla 3 číslo 8. Čo ak chceme ísť opačne — z 8 späť na 3? Potrebujeme funkciu, ktorá odpovie „na koľkú treba umocniť 2, aby vyšlo 8“. To je logaritmus: log₂ 8 = 3.

Funkcia y = logₐ x sa volá logaritmická funkcia. Je to inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii y = aˣ — robí presne opačnú prácu.

Obsah

Graf ako zrkadlový obraz

Inverzná funkcia vymení vstup a výstup. Bod [3; 8] leží na grafe y = 2ˣ, preto bod [8; 3] leží na grafe y = log₂ x. Rovnako [0; 1] ↔ [1; 0] a [1; 2] ↔ [2; 1].

Výmena súradníc je zrkadlenie podľa priamky y = x.

![Oranžový graf y = 2ˣ a prerušovaný graf y = log₂ x sú súmerné podľa prerušovanej priamky y = x; body [0; 1] a [1; 2] na exponenciále a [1; 0] a [2; 1] na logaritme](/images/high-school/exponential-logarithmic-functions/log-exp-inverse.png)

Grafy y = aˣ a y = logₐ x sú súmerné podľa priamky y = x.

Viac o inverzných funkciách v článku Prostá a inverzná funkcia.

Vlastnosti logaritmickej funkcie

Pri výmene x a y sa vymenia aj obory:

Vlastnosťy = aˣy = logₐ x
Definičný oborℝ(0; ∞), len kladné x
Obor hodnôt(0; ∞)ℝ
Význačný bod[0; 1][1; 0]
Asymptotaos x (y = 0)os y (x = 0)
Monotónnosť pri a > 1rastúcarastúca
  • Definičný obor sú len kladné čísla: log₂ 0 ani log₂ (−4) neexistujú.
  • Obor hodnôt sú všetky reálne čísla. Logaritmus môže byť aj záporný: log₂ ½ = −1.
  • Graf vždy prechádza bodom [1; 0], lebo logₐ 1 = 0, a bodom [a; 1], lebo logₐ a = 1.
  • Asymptota je os y: keď sa x blíži k nule, logaritmus klesá (alebo rastie) bez obmedzenia.

Základ väčší a menší ako 1

![Oranžový graf y = log₂ x rastie, prerušovaný graf y = logaritmus pri základe ½ klesá; oba prechádzajú bodom [1; 0]](/images/high-school/exponential-logarithmic-functions/log-bases.png)

  • Pri a > 1 je logaritmická funkcia rastúca (napríklad log₂ x: 1 → 0, 2 → 1, 4 → 2, 8 → 3). Rastie však veľmi pomaly.
  • Pri 0 < a < 1 je klesajúca (napríklad logaritmus pri základe ½: 2 → −1, 4 → −2).

Grafy log₂ x a logaritmus pri základe ½ sú súmerné podľa osi x.

Posunutý graf

Rovnako ako pri iných funkciách:

  • y = logₐ (x − m) je graf posunutý o m doprava, zvislá asymptota je x = m,
  • y = logₐ x + n je graf posunutý o n nahor.

Riešený príklad 1

y = log₂ (x − 1) + 2

  1. Asymptota: x = 1. Definičný obor: x > 1.
  2. Bod [1; 0] sa posunie na [2; 2] — tam je argument x − 1 = 1.
  3. Základ 2 > 1, funkcia rastie.

Inverzná funkcia k posunutej exponenciále

Postup je rovnaký ako pri každej inverznej funkcii: vymeň x a y a vyjadri y.

Riešený príklad 2

Nájdi inverznú funkciu k f(x) = 2ˣ + 1.

  1. y = 2ˣ + 1.
  2. Výmena: x = 2ʸ + 1.
  3. 2ʸ = x − 1, teda y = log₂ (x − 1).

Výsledok: f⁻¹(x) = log₂ (x − 1).

Kontrola oborov: f nadobúda hodnoty väčšie ako 1, preto definičný obor f⁻¹ je x > 1. Sedí — logaritmus z x − 1 vyžaduje x > 1.

💡 Všeobecne: inverzná funkcia k y = a^(x − m) + n je y = logₐ (x − n) + m. Posuny sa vymenia, rovnako ako súradnice.

Najčastejšie chyby

  • „log₂ x je definovaný pre všetky x.“ Nie, len pre x > 0.
  • Zámena asymptôt. Exponenciála má vodorovnú asymptotu (os x), logaritmus zvislú (os y).
  • Zlý posun pri inverznej funkcii. K y = 2ˣ + 1 nie je inverzná y = log₂ x − 1, ale y = log₂ (x − 1).
  • Súmernosť podľa osi. Grafy aˣ a logₐ x sú súmerné podľa priamky y = x, nie podľa osi y.

V skratke

  • y = logₐ x je inverzná funkcia k y = aˣ.
  • Definičný obor (0; ∞), obor hodnôt ℝ, bod [1; 0], asymptota x = 0.
  • Pri a > 1 rastie, pri 0 < a < 1 klesá.
  • Graf je zrkadlový obraz grafu aˣ podľa priamky y = x.
  • Inverzná funkcia k y = a^(x − m) + n je y = logₐ (x − n) + m.

Skús si sám

  1. Aký definičný obor má y = log₃ (x + 2)?
  2. Ktorým bodom prechádza graf y = log₅ x, keď y = 1?
  3. Bod [2; 9] leží na grafe y = 3ˣ. Ktorý bod leží na grafe y = log₃ x?
  4. Nájdi inverznú funkciu k f(x) = 3^(x − 2).
Riešenia:
  1. x + 2 > 0, teda x > −2.
  2. [5; 1].
  3. [9; 2].
  4. x = 3^(y − 2), y − 2 = log₃ x, f⁻¹(x) = log₃ x + 2.

Precvič si

👉 Späť na začiatok: Exponenciálna funkcia