Exponenciálny rast a pokles

Vložíš do banky 1 000 € s úrokom 5 % ročne. Po roku máš 1 050 €. Po druhom roku však banka počíta 5 % už z 1 050 €, nie z 1 000 €. Úrok sa pripisuje aj z úrokov — suma rastie čoraz rýchlejšie.

Toto je exponenciálny rast: za rovnaký čas sa veličina vždy vynásobí rovnakým číslom. Pri poklese je to číslo menšie ako 1.

Obsah

Vzorec pre exponenciálny rast

Ak má veličina na začiatku hodnotu N₀ (čítame „N nula“) a za každé obdobie sa vynásobí číslom q, po n obdobiach má hodnotu

N = N₀ · qⁿ

Číslo q voláme násobiteľ (koeficient rastu):

  • rast o p % za obdobie: q = 1 + p/100, napríklad rast o 5 % dáva q = 1,05,
  • pokles o p % za obdobie: q = 1 − p/100, napríklad pokles o 15 % dáva q = 0,85,
  • zdvojnásobenie: q = 2, rozpolenie: q = ½.

Je to vlastne exponenciálna funkcia, o ktorej je článok Exponenciálna funkcia — premenná n je v exponente.

Zložené úročenie

Riešený príklad 1

Na účet vložíme 2 000 € s ročnou úrokovou sadzbou 3 %. Úrok sa pripisuje raz ročne. Koľko eur bude na účte po 4 rokoch (daň neuvažujeme)?

  1. Začiatočná suma: N₀ = 2 000.
  2. Násobiteľ: q = 1 + 3/100 = 1,03.
  3. Počet rokov: n = 4.
  4. N = 2 000 · 1,03⁴ ≈ 2 000 · 1,1255 ≈ 2 251,02.

Po 4 rokoch bude na účte približne 2 251 €.

💡 Zaokrúhľuj až na konci. Ak zaokrúhliš 1,03⁴ na 1,13, vyjde 2 260 € — o 9 € viac.

Pokles o percento

Riešený príklad 2

Auto stojí 20 000 €. Každý rok stratí 15 % svojej hodnoty z predchádzajúceho roka. Akú hodnotu bude mať po 3 rokoch?

  1. Pokles o 15 %: q = 1 − 0,15 = 0,85.
  2. N = 20 000 · 0,85³ = 20 000 · 0,614125 = 12 282,5.

Po 3 rokoch bude mať auto hodnotu asi 12 283 €.

⚠️ Pozor: po 3 rokoch nestratilo 3 · 15 % = 45 %. Stratilo len asi 38,6 %, lebo každý rok sa počíta 15 % z menšej sumy.

Polčas rozpadu

Rádioaktívne látky sa rozpadajú. Polčas rozpadu T je čas, za ktorý sa rozpadne polovica látky. Po jednom polčase zostane ½, po dvoch ¼, po troch ⅛.

Krivka rozpadu: na začiatku 8, po 2 jednotkách času 4, po 4 jednotkách 2, po 6 jednotkách 1 — každé 2 jednotky polovica

Ak uplynul čas t, uplynulo t/T polčasov, a preto

m = m₀ · (½)^(t/T)

Riešený príklad 3

Izotop jódu má polčas rozpadu 8 dní. Máme 640 g. Koľko zostane po 24 dňoch?

  1. Počet polčasov: 24 / 8 = 3.
  2. m = 640 · (½)³ = 640 / 8 = 80 g.

Vzorec funguje aj vtedy, keď t/T nie je celé číslo. Po 12 dňoch zostane 640 · (½)^1,5 ≈ 226,3 g.

Keď hľadáme čas alebo percento

Za koľko rokov?

Za koľko celých rokov sa vklad pri úroku 4 % prvýkrát zdvojnásobí?

  1. Chceme 1,04ⁿ ≥ 2.
  2. Neznáma je v exponente. Pomôže logaritmus (viac v článku Logaritmus): n ≥ log 2 / log 1,04 ≈ 17,67.
  3. Celé roky: n = 18. Po 17 rokoch ešte vklad zdvojnásobený nie je.

O koľko percent ročne?

Mesto malo 40 000 obyvateľov, po 5 rokoch 46 000. Aký bol rovnaký ročný prírastok?

  1. 40 000 · q⁵ = 46 000, teda q⁵ = 1,15.
  2. q je piata odmocnina z 1,15: q ≈ 1,0284.
  3. Ročný prírastok je asi 2,8 %.

Najčastejšie chyby

  • Sčítanie percent. Rast 5 % ročne počas 10 rokov nie je rast o 50 %. Je to 1,05¹⁰ ≈ 1,63, teda asi o 63 %.
  • Zlý násobiteľ pri poklese. Pokles o 20 % je násobenie číslom 0,8, nie 0,2.
  • Zaokrúhľovanie počas výpočtu. Násobiteľ umocni presne a zaokrúhli až výsledok.
  • Celé roky. Ak vyjde n ≈ 17,67 a otázka znie „po koľkých celých rokoch“, odpoveď je 18, nie 17.

V skratke

  • Exponenciálny rast a pokles: N = N₀ · qⁿ.
  • Rast o p %: q = 1 + p/100. Pokles o p %: q = 1 − p/100.
  • Polčas rozpadu T: m = m₀ · (½)^(t/T).
  • Neznámy čas nájdeš logaritmom, neznámy násobiteľ odmocninou.

Skús si sám

  1. Baktérií je 300 a každú hodinu sa ich počet zdvojnásobí. Koľko ich bude po 5 hodinách?
  2. Na účte je 5 000 € s úrokom 2 % ročne. Koľko bude na účte po 3 rokoch? Zaokrúhli na celé eurá.
  3. Polčas rozpadu látky je 10 rokov. Aká časť zostane po 30 rokoch?
Riešenia:
  1. 300 · 2⁵ = 300 · 32 = 9 600 baktérií.
  2. 5 000 · 1,02³ = 5 306,04, teda asi 5 306 €.
  3. 30 / 10 = 3 polčasy, zostane (½)³ = ⅛.

Precvič si

👉 Ďalej: Exponenciálne rovnice