Pravidlá pre počítanie s logaritmami

Koľko je log₆ 4 + log₆ 9? Ani jeden z logaritmov nevyjde celý. Ich súčet však áno: 2. Prečo? Lebo 4 · 9 = 36 = 6². Súčet logaritmov sa rovná logaritmu súčinu.

Logaritmus je exponent, a preto sa riadi rovnakými pravidlami ako exponenty. Z pravidla „pri násobení mocnín sa exponenty sčítavajú“ dostaneme pravidlo „logaritmus súčinu je súčet logaritmov“.

Obsah

Tri základné pravidlá

Pre kladné čísla x, y a prípustný základ a (a > 0, a ≠ 1) platí:

PravidloVzorecPríklad
Logaritmus súčinulogₐ (x · y) = logₐ x + logₐ ylog₂ (4 · 8) = 2 + 3 = 5
Logaritmus podielulogₐ (x / y) = logₐ x − logₐ ylog₃ (81 / 9) = 4 − 2 = 2
Logaritmus mocninylogₐ (xᵏ) = k · logₐ xlog₂ (8⁵) = 5 · 3 = 15

Slovami: súčin → súčet, podiel → rozdiel, exponent → násobok pred logaritmom.

Prečo pravidlá platia

Označme logₐ x = r a logₐ y = s. Z definície x = aʳ a y = aˢ. Potom

x · y = aʳ · aˢ = a^(r + s),

a preto logₐ (x · y) = r + s = logₐ x + logₐ y. Pravidlo pre podiel a mocninu sa odvodí rovnako z pravidiel aʳ : aˢ = a^(r − s) a (aʳ)ᵏ = a^(k·r).

Výpočty bez kalkulačky

Riešený príklad 1

log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Riešený príklad 2

log₂ 40 − log₂ 5 = log₂ (40 / 5) = log₂ 8 = 3.

Riešený príklad 3

2 · log₃ 6 − log₃ 4

  1. Číslo 2 presuň do exponentu: 2 · log₃ 6 = log₃ 6² = log₃ 36.
  2. log₃ 36 − log₃ 4 = log₃ (36 / 4) = log₃ 9.
  3. log₃ 9 = 2.

Rozpísanie a zlúčenie logaritmov

V algebre pracujeme s premennými. Pre kladné x, y, z:

Rozpísanie

logₐ (x² · y / z³) = 2 · logₐ x + logₐ y − 3 · logₐ z.

Čitateľ dáva plusy, menovateľ mínus, exponenty idú pred logaritmus. Odmocnina je mocnina s exponentom ½: logₐ √z = ½ · logₐ z.

Zlúčenie do jedného logaritmu

3 · logₐ x + logₐ y − 2 · logₐ z = logₐ (x³ · y / z²).

Postup je opačný: čísla pred logaritmami presuň do exponentov, plusové logaritmy daj do čitateľa, mínusové do menovateľa.

Prechod k inému základu

Kalkulačka vie len dekadický logaritmus (log, základ 10). Iný základ prepočítame vzorcom

logₐ b = log b / log a

Riešený príklad 4

log₂ 3 · log₃ 8

  1. Prepíš oba logaritmy na dekadické: (log 3 / log 2) · (log 8 / log 3).
  2. log 3 sa vykráti: log 8 / log 2 = log₂ 8.
  3. log₂ 8 = 3.

💡 Zo vzorca vyplýva aj to, že napríklad log₂ 5 · log₅ 2 = 1.

Najčastejšie chyby

  • logₐ (x + y) = logₐ x + logₐ y. Nie! Pravidlo platí pre súčin, nie pre súčet. Napríklad log₂ (4 + 4) = 3, ale log₂ 4 + log₂ 4 = 4.
  • logₐ x · logₐ y = logₐ (x · y). Nie, súčin logaritmov sa takto nezjednoduší.
  • logₐ x / logₐ y = logₐ (x / y). Nie, podiel logaritmov je prechod k inému základu — je to logaritmus x pri základe y.
  • (logₐ x)² = 2 · logₐ x. Nie, exponent sa presúva len z argumentu: logₐ (x²) = 2 · logₐ x.

V skratke

  • logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y.
  • logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y.
  • logₐ (xᵏ) = k · logₐ x.
  • logₐ b = log b / log a (prechod k inému základu).
  • Pravidlá neplatia pre logaritmus súčtu ani pre súčin logaritmov.

Skús si sám

  1. log₁₀ 4 + log₁₀ 25
  2. log₃ 54 − log₃ 2
  3. 3 · log₂ 6 − log₂ 27
  4. Rozpíš log (x³ / y).
  5. log₅ 7 · log₇ 25
Riešenia:
  1. log₁₀ 100 = 2.
  2. log₃ 27 = 3.
  3. log₂ (216 / 27) = log₂ 8 = 3.
  4. 3 · log x − log y.
  5. log₅ 25 = 2.

Precvič si

👉 Ďalej: Logaritmické rovnice