Logaritmické rovnice

Pri akej hodnote x platí log₂ x = 3? Logaritmus je exponent, takže sa pýtame: 2 na tretiu je koľko? Osem. Preto x = 8.

Rovnica, v ktorej je neznáma v argumente logaritmu, je logaritmická rovnica. Riešime ju tak, že sa logaritmu zbavíme — a potom si overíme, či výsledok vôbec smie stáť v logaritme.

Graf y = log₂ x a vodorovná priamka y = 3 sa pretínajú v bode, kde x = 8

Obsah

Najprv podmienka

Logaritmus existuje len z kladného čísla. Preto si pred riešením napíšeme podmienku: každý argument logaritmu musí byť väčší ako nula.

Pri log₂ (x − 3) musí platiť x − 3 > 0, teda x > 3.

Na konci každý koreň s podmienkou porovnáme. Koreň, ktorý ju nespĺňa, nie je riešením.

Rovnice z definície

Ak je na jednej strane logaritmus a na druhej číslo, použijeme definíciu: logₐ A = c znamená A = aᶜ.

Riešený príklad 1

log₂ (x + 7) = 2

  1. Podmienka: x + 7 > 0, teda x > −7.
  2. Z definície: x + 7 = 2² = 4.
  3. x = −3. Vyhovuje podmienke (−3 > −7).

Riešenie: x = −3.

Rovnosť dvoch logaritmov

Ak sa rovnajú logaritmy s rovnakým základom, rovnajú sa aj argumenty: logₐ A = logₐ B znamená A = B.

Riešený príklad 2

log₃ (x² − 9) = log₃ (x + 3)

  1. Podmienka: x + 3 > 0 a x² − 9 > 0.
  2. x² − 9 = x + 3, teda x² − x − 12 = 0.
  3. (x − 4)(x + 3) = 0, korene 4 a −3.
  4. Skúška podmienky: pre x = −3 je x + 3 = 0 — logaritmus nuly neexistuje. Pre x = 4 je x + 3 = 7 > 0 a x² − 9 = 7 > 0.

Riešenie: x = 4.

Súčet a rozdiel logaritmov

Najprv logaritmy zlúčime pravidlami z článku Pravidlá pre počítanie s logaritmami.

Riešený príklad 3

log₂ x + log₂ (x + 2) = 3

  1. Podmienka: x > 0 a x + 2 > 0, spolu x > 0.
  2. Zlúčenie: log₂ (x(x + 2)) = 3.
  3. Z definície: x(x + 2) = 2³ = 8, teda x² + 2x − 8 = 0.
  4. Korene: x = 2 a x = −4.
  5. −4 nespĺňa podmienku x > 0.

Riešenie: x = 2.

Riešený príklad 4

log₂ (x − 4) − log₂ (x − 3) = 1

  1. Podmienka: x > 4.
  2. Zlúčenie: log₂ ((x − 4)/(x − 3)) = 1, teda (x − 4)/(x − 3) = 2.
  3. x − 4 = 2x − 6, x = 2.
  4. 2 nespĺňa podmienku x > 4.

Rovnica nemá riešenie. Aj takýto výsledok je správna odpoveď.

Substitúcia

Ak sa v rovnici objaví logaritmus aj jeho druhá mocnina, označíme t = logₐ x.

Riešený príklad 5

(log₂ x)² − 3 · log₂ x + 2 = 0

  1. Podmienka: x > 0.
  2. Substitúcia t = log₂ x: t² − 3t + 2 = 0, korene t = 1 a t = 2.
  3. log₂ x = 1 dáva x = 2, log₂ x = 2 dáva x = 4.

Riešenia: x₁ = 2, x₂ = 4.

💡 Pri substitúcii t smie byť aj záporné — log₂ x = −1 dáva x = ½. Na rozdiel od exponenciálnej rovnice tu nič nevyhadzujeme.

Najčastejšie chyby

  • Chýbajúca podmienka. Bez nej ostanú vo výsledku korene, pri ktorých by bol argument záporný alebo nula.
  • „Krátenie“ logaritmu pri súčte. log (x + 2) nie je log x + log 2.
  • Zlúčenie s rôznymi základmi. log₂ x + log₃ x sa nedá zlúčiť jedným pravidlom.
  • Zabudnutá odpoveď „nemá riešenie“. Ak všetky korene vypadnú, rovnica riešenie nemá.

V skratke

  • Podmienka: každý argument logaritmu musí byť kladný.
  • logₐ A = c ⇒ A = aᶜ; logₐ A = logₐ B ⇒ A = B.
  • Súčet a rozdiel logaritmov najprv zlúč pravidlami.
  • Pri (logₐ x)² použi substitúciu t = logₐ x.
  • Na konci over každý koreň v podmienke.

Skús si sám

  1. log₃ (2x − 1) = 2
  2. log₅ (x + 1) + log₅ (x − 3) = 1
  3. log₂ (x + 1) − log₂ (x − 2) = 2
  4. (log₁₀ x)² − log₁₀ x = 0
Riešenia:
  1. 2x − 1 = 9, x = 5.
  2. (x + 1)(x − 3) = 5, x² − 2x − 8 = 0, korene 4 a −2. Podmienka x > 3, riešenie x = 4.
  3. x + 1 = 4(x − 2), x = 3. Podmienka x > 2, riešenie x = 3.
  4. t² − t = 0, t = 0 alebo t = 1, teda x = 1 alebo x = 10.

Precvič si

👉 Ďalej: Logaritmická funkcia