Exponenciálne rovnice

Koľkokrát treba preložiť papier, aby mal 32 vrstiev? Každé preloženie počet vrstiev zdvojnásobí, preto hľadáme x také, že 2ˣ = 32. Skúšaním: 2, 4, 8, 16, 32 — päťkrát. Teda x = 5.

Rovnica, v ktorej je neznáma v exponente, je exponenciálna rovnica. Ukážeme si, ako ju riešiť bez skúšania.

Obsah

Hlavná myšlienka: rovnaký základ

Exponenciálna funkcia je prostá: dve rôzne x nikdy nedajú rovnakú hodnotu. Preto platí:

Ak sa rovnajú mocniny s rovnakým základom, rovnajú sa aj exponenty: aʳ = aˢ ⇒ r = s.

Šípku ⇒ čítame „z toho vyplýva“.

Graf y = 2ˣ a vodorovná priamka y = 8 sa pretínajú v bode, kde x = 3

Na obrázku je riešenie rovnice 2ˣ = 8 vidieť ako priesečník grafu y = 2ˣ s priamkou y = 8. Pretínajú sa pri x = 3.

Riešený príklad 1

3^(x − 1) = 27

  1. Prepíš 27 ako mocninu trojky: 27 = 3³.
  2. 3^(x − 1) = 3³.
  3. Porovnaj exponenty: x − 1 = 3.
  4. x = 4.

Skúška: 3^(4 − 1) = 3³ = 27 ✓.

Prepis na mocninu rovnakého základu

Často treba zladiť základy. Pomáhajú tieto prepisy:

Číslo48927½¼√21
Ako mocnina2²2³3²3³2⁻¹2⁻²2^½2⁰

Riešený príklad 2

4ˣ = 8

  1. 4 = 2² a 8 = 2³, preto (2²)ˣ = 2³.
  2. Mocnina mocniny: (2²)ˣ = 2^(2x).
  3. 2x = 3, teda x = 3/2.

Riešený príklad 3

9^(x + 1) = 27ˣ

  1. 9 = 3², 27 = 3³: 3^(2(x + 1)) = 3^(3x).
  2. 2x + 2 = 3x.
  3. x = 2.

Riešený príklad 4

(½)ˣ = 16

  1. ½ = 2⁻¹ a 16 = 2⁴: 2^(−x) = 2⁴.
  2. −x = 4, teda x = −4.

Vyňatie pred zátvorku

Ak sa v rovnici sčítavajú mocniny, porovnať exponenty nejde. Pomôže vyňať spoločnú mocninu.

Riešený príklad 5

2^(x + 1) + 2ˣ = 12

  1. 2^(x + 1) = 2 · 2ˣ, preto 2 · 2ˣ + 2ˣ = 12.
  2. Vyjmi 2ˣ: 2ˣ · (2 + 1) = 12, teda 3 · 2ˣ = 12.
  3. 2ˣ = 4 = 2², preto x = 2.

Substitúcia

Niektoré rovnice vyzerajú ako kvadratické. Pozri: 4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)². Ak označíme t = 2ˣ, z rovnice sa stane kvadratická.

Riešený príklad 6

4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0

  1. Substitúcia t = 2ˣ: t² − 6t + 8 = 0.
  2. Korene: t₁ = 2, t₂ = 4.
  3. Návrat k x: 2ˣ = 2 dáva x = 1, 2ˣ = 4 dáva x = 2.

Riešenia: x₁ = 1, x₂ = 2.

Riešený príklad 7

4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0

  1. t² − 3t − 4 = 0, korene t₁ = 4, t₂ = −1.
  2. 2ˣ = 4 dáva x = 2.
  3. 2ˣ = −1 nemá riešenie — mocnina s kladným základom je vždy kladná.

Riešenie: x = 2.

Keď základ zladiť nejde

Rovnicu 2ˣ = 5 neprepíšeš na rovnaký základ — 5 nie je mocnina dvojky. Takú rovnicu vyriešiš logaritmom: x = log₂ 5 ≈ 2,32. Viac v článku Logaritmus.

Najčastejšie chyby

  • Porovnanie exponentov pri rôznych základoch. Z 4ˣ = 8 nevyplýva x = 8 ani x = 2. Najprv zlaď základy.
  • Zabudnutá zátvorka. 9^(x + 1) = 3^(2(x + 1)) = 3^(2x + 2), nie 3^(2x + 1).
  • Sčítanie exponentov pri súčte. 2^(x + 1) + 2ˣ nie je 2^(2x + 1). Exponenty sa sčítavajú pri násobení, nie pri sčítaní.
  • Ponechané záporné t. Pri substitúcii t = 2ˣ musí byť t kladné.

V skratke

  • Exponenciálna rovnica má neznámu v exponente.
  • Prepíš obe strany na mocninu s rovnakým základom a porovnaj exponenty.
  • Súčet mocnín rieš vyňatím pred zátvorku.
  • Rovnicu typu 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0 rieš substitúciou t = 2ˣ; záporné t vyhoď.
  • Ak sa základy zladiť nedajú, pomôže logaritmus.

Skús si sám

  1. 5^(2x − 1) = 125
  2. 8ˣ = 4
  3. 3^(x + 2) − 3ˣ = 72
  4. 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0
Riešenia:
  1. 125 = 5³, 2x − 1 = 3, x = 2.
  2. 2^(3x) = 2², 3x = 2, x = 2/3.
  3. 3ˣ · (9 − 1) = 72, 3ˣ = 9, x = 2.
  4. t = 3ˣ: t² − 4t + 3 = 0, t = 1 alebo t = 3, teda x = 0 alebo x = 1.

Precvič si

👉 Ďalej: Logaritmus