Logaritmus

Pri preklápaní papiera sme sa pýtali: koľkokrát treba papier preložiť, aby mal 32 vrstiev? Inými slovami: na koľkú treba umocniť 2, aby vyšlo 32? Odpoveď je 5, lebo 2⁵ = 32.

Na presne takúto otázku odpovedá logaritmus. Zapisujeme ju log₂ 32 = 5.

logₐ b = c znamená aᶜ = b.

Čítame „logaritmus b pri základe a sa rovná c“.

Logaritmus je teda exponent: číslo, na ktoré treba umocniť základ a, aby vyšlo b.

Obsah

Ako vypočítať logaritmus

Postup: prepíš logaritmus na otázku o mocnine.

LogaritmusOtázkaOdpoveď
log₂ 82 na koľkú je 8?3, lebo 2³ = 8
log₃ 813 na koľkú je 81?4, lebo 3⁴ = 81
log₁₀ 1 00010 na koľkú je 1 000?3
log₅ 15 na koľkú je 1?0, lebo 5⁰ = 1
log₂ ⅛2 na koľkú je ⅛?−3, lebo 2⁻³ = ⅛

💡 Logaritmus zlomku menšieho ako 1 (pri základe väčšom ako 1) je záporný. Zlomok ⅛ je 2⁻³.

Kedy logaritmus existuje

  • Základ a musí byť kladný a rôzny od 1 — rovnako ako pri exponenciálnej funkcii.
  • Argument b musí byť kladný. Mocnina s kladným základom je vždy kladná, takže log₂ (−4) ani log₂ 0 neexistujú.

logₐ b má zmysel, len ak a > 0, a ≠ 1 a b > 0.

Dôležité hodnoty

Pre každý prípustný základ a platí:

  • logₐ 1 = 0, lebo a⁰ = 1,
  • logₐ a = 1, lebo a¹ = a,
  • logₐ aᵏ = k — logaritmus „zruší“ mocninu,
  • a^(logₐ b) = b — mocnina „zruší“ logaritmus.

Napríklad 3^(log₃ 7) = 7 a 2^(3 + log₂ 5) = 2³ · 2^(log₂ 5) = 8 · 5 = 40.

Logaritmy so zlomkovým výsledkom

Výsledok nemusí byť celé číslo. Vtedy zapíš základ aj argument ako mocninu toho istého čísla.

Riešený príklad 1

log₄ 8 = ?

  1. Hľadáme y, pre ktoré 4ʸ = 8.
  2. 4 = 2², 8 = 2³, preto 2^(2y) = 2³.
  3. 2y = 3, teda log₄ 8 = 3/2.

Riešený príklad 2

log₂ √2 = ?

Odmocnina je mocnina s exponentom ½: √2 = 2^½. Preto log₂ √2 = ½.

Riešený príklad 3

Logaritmus 9 pri základe ⅓ = ?

  1. (⅓)ʸ = 9, teda 3^(−y) = 3².
  2. −y = 2, y = −2.

Rovnice priamo z definície

Neznámy argument

log₂ x = 5. Z definície x = 2⁵ = 32.

log₃ x = −2. Z definície x = 3⁻² = 1/9.

Neznámy základ

logₓ 16 = 2. Z definície x² = 16. Základ musí byť kladný, preto x = 4 (−4 nevyhovuje).

logₓ ⅛ = 3. Z definície x³ = ⅛, teda x = ½.

Dekadický logaritmus a kalkulačka

Logaritmus pri základe 10 voláme dekadický a základ sa často nepíše: log 1 000 = log₁₀ 1 000 = 3. Na kalkulačke je to tlačidlo log.

Logaritmus, ktorý nevyjde pekne, vypočítaš kalkulačkou. Pre iný základ ako 10 použi vzorec

logₐ b = log b / log a

Napríklad log₂ 5 = log 5 / log 2 ≈ 0,699 / 0,301 ≈ 2,32. Prečo vzorec platí, uvidíš v článku Pravidlá pre počítanie s logaritmami.

Najčastejšie chyby

  • Zámena základu a argumentu. log₂ 8 je „2 na koľkú je 8“, nie „8 na koľkú je 2“ (to by bolo ⅓).
  • logₐ 1 = 1. Nie, logₐ 1 = 0, lebo a⁰ = 1.
  • Logaritmus záporného čísla alebo nuly. Neexistuje.
  • Záporný základ pri neznámom základe. Z x² = 16 vyhovuje len x = 4.

V skratke

  • logₐ b = c znamená aᶜ = b: logaritmus je exponent.
  • Musí platiť a > 0, a ≠ 1, b > 0.
  • logₐ 1 = 0, logₐ a = 1, logₐ aᵏ = k, a^(logₐ b) = b.
  • Pri zlomkovom výsledku zapíš základ aj argument ako mocninu toho istého čísla.
  • log bez základu je dekadický logaritmus (základ 10).

Skús si sám

  1. log₃ 27
  2. log₂ (1/16)
  3. log₉ 27
  4. log₅ x = 3
  5. logₓ 49 = 2
Riešenia:
  1. 3, lebo 3³ = 27.
  2. −4, lebo 2⁻⁴ = 1/16.
  3. 3/2, lebo 9 = 3², 27 = 3³ a 2y = 3.
  4. x = 5³ = 125.
  5. x = 7.

Precvič si

👉 Ďalej: Pravidlá pre počítanie s logaritmami