Zober hárok papiera a prelož ho na polovicu. Máš 2 vrstvy. Prelož ešte raz — 4 vrstvy. Potom 8, 16, 32. Každé preloženie počet vrstiev zdvojnásobí. Po x preloženiach máš 2ˣ vrstiev.
Takéto „násobenie stále tým istým číslom“ popisuje exponenciálna funkcia. Premenná x tu nie je v základe, ale v exponente — odtiaľ názov.
Exponenciálna funkcia má predpis y = aˣ, kde základ a je kladné číslo rôzne od 1. Čítame „y sa rovná a na x“.
Obsah
- Tabuľka hodnôt a graf
- Prečo musí byť základ kladný a rôzny od 1
- Vlastnosti exponenciálnej funkcie
- Posunutý graf
- Najčastejšie chyby
- V skratke
- Skús si sám
- Precvič si
Tabuľka hodnôt a graf
Vypočítajme hodnoty y = 2ˣ pre niekoľko celých x:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 2ˣ | ¼ | ½ | 1 | 2 | 4 | 8 |
Všimni si dve veci:
- Krok doprava (x o 1 väčšie) hodnotu zdvojnásobí.
- Krok doľava hodnotu rozpolí. Hodnota sa blíži k nule, ale nikdy nulou nebude: ½, ¼, ⅛, …
Pripomeň si: 2⁰ = 1 a záporný exponent znamená prevrátenú hodnotu, napríklad 2⁻² = 1/2² = ¼.
![Graf funkcií y = 2ˣ (oranžová), y = 3ˣ (plná čierna) a y = (½)ˣ (prerušovaná čierna); všetky tri prechádzajú bodom [0; 1]](/images/high-school/exponential-logarithmic-functions/exp-bases.png)
Na obrázku sú tri exponenciálne funkcie. Všetky prechádzajú bodom [0; 1], lebo každé kladné číslo na nultú je 1.
- y = 3ˣ rastie rýchlejšie ako y = 2ˣ: väčší základ, strmší graf.
- y = (½)ˣ je zrkadlový obraz y = 2ˣ podľa osi y. Pri základe medzi 0 a 1 funkcia klesá.
Prečo musí byť základ kladný a rôzny od 1
- Základ 1: 1ˣ = 1 pre každé x. To je konštantná funkcia, nič exponenciálne na nej nie je.
- Záporný základ: (−2)^½ = √(−2) neexistuje. Funkcia by nebola definovaná pre mnohé x.
- Základ 0: 0⁻¹ = 1/0 nemá zmysel.
Preto vždy platí a > 0 a a ≠ 1 (čítame „a je väčšie ako nula a rôzne od jednej“).
Vlastnosti exponenciálnej funkcie
| Vlastnosť | a > 1 (napr. 2ˣ) | 0 < a < 1 (napr. (½)ˣ) |
|---|---|---|
| Definičný obor | všetky reálne čísla ℝ | všetky reálne čísla ℝ |
| Obor hodnôt | (0; ∞), len kladné čísla | (0; ∞), len kladné čísla |
| Monotónnosť | rastúca | klesajúca |
| Bod grafu | [0; 1] | [0; 1] |
| Asymptota | os x, teda y = 0 (vľavo) | os x, teda y = 0 (vpravo) |
💡 Funkcia je prostá — každú hodnotu nadobúda len raz. Vďaka tomu má inverznú funkciu, logaritmus. Viac v článku Logaritmická funkcia.
Posunutý graf
Predpis y = a^(x − m) + n posúva graf y = aˣ:
- o m doprava (pri zápornom m doľava),
- o n nahor (pri zápornom n nadol).
Spolu s grafom sa posunie aj asymptota a bod [0; 1].
Riešený príklad
Načrtni graf y = 2^(x − 2) + 1.
- Asymptota sa posunie o 1 nahor: y = 1.
- Bod [0; 1] sa posunie o 2 doprava a o 1 nahor: [2; 2]. Je to miesto, kde je exponent nula: x − 2 = 0.
- O jednotku ďalej doprava je exponent 1: y = 2¹ + 1 = 3, bod [3; 3].
- Základ 2 je väčší ako 1, funkcia rastie.
![Prerušovaný graf y = 2ˣ a oranžový graf y = 2^(x − 2) + 1, ktorý je posunutý o 2 doprava a o 1 nahor; asymptota y = 1, body [0; 1] a [2; 2]](/images/high-school/exponential-logarithmic-functions/exp-shift.png)
💡 Ako spoznať predpis z grafu? Nájdi asymptotu (to je n), bod, kde graf „začína“ výšku 1 nad asymptotou (jeho x je m), a o jednotku ďalej prečítaj, koľkokrát graf narástol (to je a).