La función logarítmica

La función exponencial y = 2ˣ convierte el número 3 en el número 8. ¿Y si queremos ir al revés, del 8 de vuelta al 3? Necesitamos una función que responda «¿a qué exponente hay que elevar 2 para obtener 8?». Eso es el logaritmo: log₂ 8 = 3.

La función y = logₐ x se llama función logarítmica. Es la función inversa de la función exponencial y = aˣ: hace exactamente el trabajo contrario.

Índice

La gráfica como reflejo

La función inversa intercambia la entrada y la salida. El punto (3, 8) está en la gráfica de y = 2ˣ, así que el punto (8, 3) está en la gráfica de y = log₂ x. Del mismo modo, (0, 1) ↔ (1, 0) y (1, 2) ↔ (2, 1).

Intercambiar las coordenadas es reflejar respecto de la recta y = x.

La gráfica naranja de y = 2ˣ y la gráfica discontinua de y = log₂ x son simétricas respecto de la recta discontinua y = x; los puntos (0, 1) y (1, 2) en la exponencial y (1, 0) y (2, 1) en el logaritmo

Las gráficas de y = aˣ y de y = logₐ x son simétricas respecto de la recta y = x.

Tienes más sobre funciones inversas en el artículo Funciones inyectivas y función inversa.

Propiedades de la función logarítmica

Al intercambiar x e y también se intercambian el dominio y el recorrido:

Propiedady = aˣy = logₐ x
Dominioℝ(0, +∞), solo x positivos
Recorrido(0, +∞)ℝ
Punto destacado(0, 1)(1, 0)
Asíntotaeje X (y = 0)eje Y (x = 0)
Monotonía si a > 1crecientecreciente
  • El dominio son solo los números positivos: ni log₂ 0 ni log₂ (−4) existen.
  • El recorrido son todos los números reales. El logaritmo también puede ser negativo: log₂ ½ = −1.
  • La gráfica siempre pasa por el punto (1, 0), porque logₐ 1 = 0, y por el punto (a, 1), porque logₐ a = 1.
  • La asíntota es el eje Y: cuando x se acerca a cero, el logaritmo decrece (o crece) sin límite.

Base mayor y menor que 1

La gráfica naranja de y = log₂ x crece y la gráfica discontinua del logaritmo en base ½ decrece; las dos pasan por el punto (1, 0)
  • Si a > 1, la función logarítmica es creciente (por ejemplo, log₂ x: 1 → 0, 2 → 1, 4 → 2, 8 → 3). Pero crece muy despacio.
  • Si 0 < a < 1, es decreciente (por ejemplo, el logaritmo en base ½: 2 → −1, 4 → −2).

Las gráficas de log₂ x y del logaritmo en base ½ son simétricas respecto del eje X.

La gráfica trasladada

Igual que con otras funciones:

  • y = logₐ (x − m) es la gráfica trasladada m a la derecha, y la asíntota vertical es x = m,
  • y = logₐ x + n es la gráfica trasladada n hacia arriba.

Ejemplo resuelto 1

y = log₂ (x − 1) + 2

  1. Asíntota: x = 1. Dominio: x > 1.
  2. El punto (1, 0) se traslada a (2, 2): ahí el argumento vale x − 1 = 1.
  3. La base es 2 > 1, así que la función crece.

Inversa de una exponencial trasladada

El método es el mismo que para cualquier función inversa: intercambia x e y y despeja y.

Ejemplo resuelto 2

Halla la función inversa de f(x) = 2ˣ + 1.

  1. y = 2ˣ + 1.
  2. Intercambio: x = 2ʸ + 1.
  3. 2ʸ = x − 1, es decir, y = log₂ (x − 1).

Resultado: f⁻¹(x) = log₂ (x − 1).

Comprobación de dominio y recorrido: f toma valores mayores que 1, así que el dominio de f⁻¹ es x > 1. Encaja: el logaritmo de x − 1 exige x > 1.

💡 En general: la función inversa de y = a^(x − m) + n es y = logₐ (x − n) + m. Las traslaciones se intercambian, igual que las coordenadas.

Errores más frecuentes

  • «log₂ x está definido para todo x». No, solo para x > 0.
  • Confundir las asíntotas. La exponencial tiene una asíntota horizontal (el eje X); el logaritmo, una vertical (el eje Y).
  • Traslación equivocada en la función inversa. La inversa de y = 2ˣ + 1 no es y = log₂ x − 1, sino y = log₂ (x − 1).
  • Simetría respecto de un eje. Las gráficas de aˣ y logₐ x son simétricas respecto de la recta y = x, no respecto del eje Y.

En resumen

  • y = logₐ x es la función inversa de y = aˣ.
  • Dominio (0, +∞), recorrido ℝ, punto (1, 0), asíntota x = 0.
  • Si a > 1, crece; si 0 < a < 1, decrece.
  • La gráfica es el reflejo de la gráfica de aˣ respecto de la recta y = x.
  • La función inversa de y = a^(x − m) + n es y = logₐ (x − n) + m.

Pruébalo tú

  1. ¿Qué dominio tiene y = log₃ (x + 2)?
  2. ¿Por qué punto pasa la gráfica de y = log₅ x cuando y = 1?
  3. El punto (2, 9) está en la gráfica de y = 3ˣ. ¿Qué punto está en la gráfica de y = log₃ x?
  4. Halla la función inversa de f(x) = 3^(x − 2).
Soluciones:
  1. x + 2 > 0, es decir, x > −2.
  2. (5, 1).
  3. (9, 2).
  4. x = 3^(y − 2), y − 2 = log₃ x, f⁻¹(x) = log₃ x + 2.

Practica

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