Coge una hoja de papel y dóblala por la mitad. Tienes 2 capas. Dóblala otra vez: 4 capas. Después 8, 16, 32. Cada doblez duplica el número de capas. Después de x dobleces tienes 2ˣ capas.
Este «multiplicar siempre por el mismo número» lo describe la función exponencial. Aquí la variable x no está en la base, sino en el exponente; de ahí viene el nombre.
La función exponencial tiene la fórmula y = aˣ, donde la base a es un número positivo distinto de 1. Se lee «y igual a a elevado a x».
Índice
- Tabla de valores y gráfica
- Por qué la base tiene que ser positiva y distinta de 1
- Propiedades de la función exponencial
- La gráfica trasladada
- Errores más frecuentes
- En resumen
- Pruébalo tú
- Practica
Tabla de valores y gráfica
Calculemos los valores de y = 2ˣ para algunos x enteros:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 2ˣ | ¼ | ½ | 1 | 2 | 4 | 8 |
Fíjate en dos cosas:
- Un paso a la derecha (x aumenta en 1) duplica el valor.
- Un paso a la izquierda divide el valor entre dos. El valor se acerca a cero, pero nunca llega a ser cero: ½, ¼, ⅛, …
Recuerda: 2⁰ = 1 y un exponente negativo significa el inverso, por ejemplo 2⁻² = 1/2² = ¼.
En la imagen hay tres funciones exponenciales. Todas pasan por el punto (0, 1), porque cualquier número positivo elevado a cero es 1.
- y = 3ˣ crece más deprisa que y = 2ˣ: cuanto mayor es la base, más empinada es la gráfica.
- y = (½)ˣ es el reflejo de y = 2ˣ respecto del eje Y. Si la base está entre 0 y 1, la función decrece.
Por qué la base tiene que ser positiva y distinta de 1
- Base 1: 1ˣ = 1 para todo x. Es una función constante; no tiene nada de exponencial.
- Base negativa: (−2)^½ = √(−2) no existe. La función no estaría definida para muchos valores de x.
- Base 0: 0⁻¹ = 1/0 no tiene sentido.
Por eso siempre se exige a > 0 y a ≠ 1 (se lee «a mayor que cero y distinto de uno»).
Propiedades de la función exponencial
| Propiedad | a > 1 (p. ej. 2ˣ) | 0 < a < 1 (p. ej. (½)ˣ) |
|---|---|---|
| Dominio | todos los números reales ℝ | todos los números reales ℝ |
| Recorrido | (0, +∞), solo números positivos | (0, +∞), solo números positivos |
| Monotonía | creciente | decreciente |
| Punto de la gráfica | (0, 1) | (0, 1) |
| Asíntota | eje X, es decir, y = 0 (a la izquierda) | eje X, es decir, y = 0 (a la derecha) |
Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca cada vez más, pero sin llegar a tocarla nunca. En y = 2ˣ es el eje X: los valores ½, ¼, ⅛ … están cada vez más cerca de cero, pero siguen siendo positivos.
💡 La función es inyectiva: cada valor lo toma una sola vez. Gracias a eso tiene función inversa, el logaritmo. Tienes más en el artículo La función logarítmica.
La gráfica trasladada
La fórmula y = a^(x − m) + n traslada la gráfica de y = aˣ:
- m hacia la derecha (si m es negativo, hacia la izquierda),
- n hacia arriba (si n es negativo, hacia abajo).
Junto con la gráfica se trasladan también la asíntota y el punto (0, 1).
Ejemplo resuelto
Dibuja a mano alzada la gráfica de y = 2^(x − 2) + 1.
- La asíntota sube 1: y = 1.
- El punto (0, 1) se traslada 2 a la derecha y 1 hacia arriba: (2, 2). Es el punto donde el exponente vale cero: x − 2 = 0.
- Una unidad más a la derecha el exponente vale 1: y = 2¹ + 1 = 3, el punto (3, 3).
- La base 2 es mayor que 1, así que la función crece.
💡 ¿Cómo se reconoce la fórmula a partir de la gráfica? Busca la asíntota (eso es n), el punto donde la gráfica «empieza» a una altura de 1 por encima de la asíntota (su x es m) y, una unidad más a la derecha, lee cuántas veces ha crecido la gráfica (eso es a).