Ingresas 1000 € en el banco a un interés del 5 % anual. Al cabo de un año tienes 1050 €. Pero el segundo año el banco calcula el 5 % sobre 1050 €, no sobre 1000 €. También los intereses generan intereses, y la cantidad crece cada vez más deprisa.
Esto es el crecimiento exponencial: en el mismo intervalo de tiempo, la magnitud se multiplica siempre por el mismo número. En el decrecimiento, ese número es menor que 1.
Si una magnitud tiene al principio el valor N₀ (se lee «N sub cero») y en cada periodo se multiplica por el número q, al cabo de n periodos tiene el valor
N = N₀ · qⁿ
Al número q lo llamamos factor de crecimiento:
aumento del p % por periodo: q = 1 + p/100; por ejemplo, un aumento del 5 % da q = 1,05,
disminución del p % por periodo: q = 1 − p/100; por ejemplo, una disminución del 15 % da q = 0,85,
duplicar: q = 2; reducir a la mitad: q = ½.
En realidad es una función exponencial, de la que trata el artículo La función exponencial: la variable n está en el exponente.
Interés compuesto
Ejemplo resuelto 1
Ingresamos 2000 € en una cuenta con un tipo de interés anual del 3 %. Los intereses se abonan una vez al año. ¿Cuántos euros habrá en la cuenta al cabo de 4 años (sin tener en cuenta los impuestos)?
Cantidad inicial: N₀ = 2000.
Factor de crecimiento: q = 1 + 3/100 = 1,03.
Número de años: n = 4.
N = 2000 · 1,03⁴ ≈ 2000 · 1,1255 ≈ 2251,02.
Al cabo de 4 años habrá en la cuenta unos 2251 €.
💡 Redondea solo al final. Si redondeas 1,03⁴ a 1,13, sale 2260 €: 9 € de más.
Disminución en un porcentaje
Ejemplo resuelto 2
Un coche cuesta 20 000 €. Cada año pierde el 15 % del valor que tenía el año anterior. ¿Cuánto valdrá al cabo de 3 años?
⚠️ Cuidado: en 3 años no ha perdido 3 · 15 % = 45 %. Solo ha perdido alrededor del 38,6 %, porque cada año el 15 % se calcula sobre una cantidad menor.
Periodo de semidesintegración
Las sustancias radiactivas se desintegran. El periodo de semidesintegración T es el tiempo en el que se desintegra la mitad de la sustancia. Después de un periodo queda ½, después de dos ¼, después de tres ⅛.
Si ha pasado el tiempo t, han pasado t/T periodos de semidesintegración, y por eso
m = m₀ · (½)^(t/T)
Ejemplo resuelto 3
Un isótopo del yodo tiene un periodo de semidesintegración de 8 días. Tenemos 640 g. ¿Cuánto quedará al cabo de 24 días?
Número de periodos: 24 / 8 = 3.
m = 640 · (½)³ = 640 / 8 = 80 g.
La fórmula funciona también cuando t/T no es un número entero. Al cabo de 12 días quedan 640 · (½)^1,5 ≈ 226,3 g.
Cuando buscamos el tiempo o el porcentaje
¿En cuántos años?
¿Al cabo de cuántos años completos se duplica por primera vez un depósito al 4 % de interés?
Queremos que 1,04ⁿ ≥ 2.
La incógnita está en el exponente. Nos ayuda el logaritmo (tienes más en el artículo Los logaritmos): n ≥ log 2 / log 1,04 ≈ 17,67.
En años completos: n = 18. Al cabo de 17 años el depósito todavía no se ha duplicado.
¿Qué porcentaje anual?
Una ciudad tenía 40 000 habitantes y, 5 años después, 46 000. ¿Cuál fue el crecimiento anual, si fue el mismo todos los años?
40 000 · q⁵ = 46 000, es decir, q⁵ = 1,15.
q es la raíz quinta de 1,15: q ≈ 1,0284.
El crecimiento anual fue de alrededor del 2,8 %.
Errores más frecuentes
Sumar porcentajes. Un crecimiento del 5 % anual durante 10 años no es un crecimiento del 50 %. Es 1,05¹⁰ ≈ 1,63, es decir, de alrededor del 63 %.
Factor equivocado en una disminución. Disminuir un 20 % es multiplicar por 0,8, no por 0,2.
Redondear durante el cálculo. Eleva el factor de forma exacta y redondea solo el resultado.
Años completos. Si sale n ≈ 17,67 y la pregunta es «al cabo de cuántos años completos», la respuesta es 18, no 17.
En resumen
Crecimiento y decrecimiento exponencial: N = N₀ · qⁿ.
Aumento del p %: q = 1 + p/100. Disminución del p %: q = 1 − p/100.
Periodo de semidesintegración T: m = m₀ · (½)^(t/T).
El tiempo desconocido se halla con un logaritmo; el factor desconocido, con una raíz.
Pruébalo tú
Hay 300 bacterias y cada hora su número se duplica. ¿Cuántas habrá al cabo de 5 horas?
En una cuenta hay 5000 € al 2 % de interés anual. ¿Cuánto habrá al cabo de 3 años? Redondea a euros enteros.
El periodo de semidesintegración de una sustancia es de 10 años. ¿Qué parte queda al cabo de 30 años?
