Ecuaciones logarítmicas

¿Para qué valor de x se cumple log₂ x = 3? El logaritmo es un exponente, así que nos preguntamos: ¿cuánto es 2 elevado a 3? Ocho. Por tanto, x = 8.

Una ecuación en la que la incógnita está en el argumento de un logaritmo es una ecuación logarítmica. La resolvemos quitando el logaritmo y después comprobando si el resultado puede estar realmente dentro del logaritmo.

La gráfica de y = log₂ x y la recta horizontal y = 3 se cortan en el punto en el que x = 8

Índice

Primero, la condición

Solo existe el logaritmo de un número positivo. Por eso, antes de resolver, escribimos la condición: cada argumento de un logaritmo tiene que ser mayor que cero.

En log₂ (x − 3) tiene que cumplirse x − 3 > 0, es decir, x > 3.

Al final comparamos cada raíz con la condición. Una raíz que no la cumple no es solución.

Ecuaciones a partir de la definición

Si en un miembro hay un logaritmo y en el otro un número, usamos la definición: logₐ A = c significa A = aᶜ.

Ejemplo resuelto 1

log₂ (x + 7) = 2

  1. Condición: x + 7 > 0, es decir, x > −7.
  2. Por la definición: x + 7 = 2² = 4.
  3. x = −3. Cumple la condición (−3 > −7).

Solución: x = −3.

Igualdad de dos logaritmos

Si dos logaritmos con la misma base son iguales, también lo son sus argumentos: logₐ A = logₐ B significa A = B.

Ejemplo resuelto 2

log₃ (x² − 9) = log₃ (x + 3)

  1. Condición: x + 3 > 0 y x² − 9 > 0.
  2. x² − 9 = x + 3, es decir, x² − x − 12 = 0.
  3. (x − 4)(x + 3) = 0, raíces 4 y −3.
  4. Comprobamos la condición: para x = −3, x + 3 = 0, y el logaritmo de cero no existe. Para x = 4, x + 3 = 7 > 0 y x² − 9 = 7 > 0.

Solución: x = 4.

Suma y resta de logaritmos

Primero agrupamos los logaritmos con las propiedades del artículo Propiedades de los logaritmos.

Ejemplo resuelto 3

log₂ x + log₂ (x + 2) = 3

  1. Condición: x > 0 y x + 2 > 0; juntas, x > 0.
  2. Agrupamos: log₂ (x(x + 2)) = 3.
  3. Por la definición: x(x + 2) = 2³ = 8, es decir, x² + 2x − 8 = 0.
  4. Raíces: x = 2 y x = −4.
  5. −4 no cumple la condición x > 0.

Solución: x = 2.

Ejemplo resuelto 4

log₂ (x − 4) − log₂ (x − 3) = 1

  1. Condición: x > 4.
  2. Agrupamos: log₂ ((x − 4)/(x − 3)) = 1, es decir, (x − 4)/(x − 3) = 2.
  3. x − 4 = 2x − 6, x = 2.
  4. 2 no cumple la condición x > 4.

La ecuación no tiene solución. Este resultado también es una respuesta correcta.

Cambio de variable

Si en la ecuación aparecen un logaritmo y también su cuadrado, llamamos t = logₐ x.

Ejemplo resuelto 5

(log₂ x)² − 3 · log₂ x + 2 = 0

  1. Condición: x > 0.
  2. Cambio de variable t = log₂ x: t² − 3t + 2 = 0, raíces t = 1 y t = 2.
  3. log₂ x = 1 da x = 2; log₂ x = 2 da x = 4.

Soluciones: x₁ = 2, x₂ = 4.

💡 En este cambio de variable t también puede ser negativo: log₂ x = −1 da x = ½. A diferencia de la ecuación exponencial, aquí no descartamos nada.

Errores más frecuentes

  • Olvidar la condición. Sin ella se quedan en el resultado raíces para las que el argumento sería negativo o cero.
  • «Repartir» el logaritmo en una suma. log (x + 2) no es log x + log 2.
  • Agrupar logaritmos de bases distintas. log₂ x + log₃ x no se puede agrupar con una sola propiedad.
  • Olvidar la respuesta «no tiene solución». Si se descartan todas las raíces, la ecuación no tiene solución.

En resumen

  • Condición: cada argumento de un logaritmo tiene que ser positivo.
  • logₐ A = c ⇒ A = aᶜ; logₐ A = logₐ B ⇒ A = B.
  • Las sumas y restas de logaritmos, agrúpalas primero con las propiedades.
  • Con (logₐ x)² usa el cambio de variable t = logₐ x.
  • Al final comprueba cada raíz con la condición.

Pruébalo tú

  1. log₃ (2x − 1) = 2
  2. log₅ (x + 1) + log₅ (x − 3) = 1
  3. log₂ (x + 1) − log₂ (x − 2) = 2
  4. (log₁₀ x)² − log₁₀ x = 0
Soluciones:
  1. 2x − 1 = 9, x = 5.
  2. (x + 1)(x − 3) = 5, x² − 2x − 8 = 0, raíces 4 y −2. Condición x > 3, solución x = 4.
  3. x + 1 = 4(x − 2), x = 3. Condición x > 2, solución x = 3.
  4. t² − t = 0, t = 0 o t = 1, es decir, x = 1 o x = 10.

Practica

👉 Sigue con: La función logarítmica