¿Cuántas veces hay que doblar un papel para que tenga 32 capas? Cada doblez duplica el número de capas, así que buscamos un x tal que 2ˣ = 32. Probando: 2, 4, 8, 16, 32, es decir, cinco veces. Por tanto, x = 5.
Una ecuación en la que la incógnita está en el exponente es una ecuación exponencial. Vamos a ver cómo resolverla sin ir probando.
La función exponencial es inyectiva: dos valores de x distintos nunca dan el mismo resultado. Por eso:
Si dos potencias con la misma base son iguales, también lo son sus exponentes: aʳ = aˢ ⇒ r = s.
La flecha ⇒ se lee «de aquí se deduce que».
En la imagen se ve la solución de la ecuación 2ˣ = 8 como el punto de corte de la gráfica de y = 2ˣ con la recta y = 8. Se cortan en x = 3.
Ejemplo resuelto 1
3^(x − 1) = 27
Escribe 27 como potencia de 3: 27 = 3³.
3^(x − 1) = 3³.
Iguala los exponentes: x − 1 = 3.
x = 4.
Comprobación: 3^(4 − 1) = 3³ = 27 ✓.
Escribir como potencia de la misma base
A menudo hay que igualar las bases. Te ayudarán estas equivalencias:
Número
4
8
9
27
½
¼
√2
1
Como potencia
2²
2³
3²
3³
2⁻¹
2⁻²
2^½
2⁰
Ejemplo resuelto 2
4ˣ = 8
4 = 2² y 8 = 2³, así que (2²)ˣ = 2³.
Potencia de una potencia: (2²)ˣ = 2^(2x).
2x = 3, es decir, x = 3/2.
Ejemplo resuelto 3
9^(x + 1) = 27ˣ
9 = 3², 27 = 3³: 3^(2(x + 1)) = 3^(3x).
2x + 2 = 3x.
x = 2.
Ejemplo resuelto 4
(½)ˣ = 16
½ = 2⁻¹ y 16 = 2⁴: 2^(−x) = 2⁴.
−x = 4, es decir, x = −4.
Sacar factor común
Si en la ecuación se suman potencias, no se pueden igualar los exponentes. Ayuda sacar factor común la potencia que se repite.
Ejemplo resuelto 5
2^(x + 1) + 2ˣ = 12
2^(x + 1) = 2 · 2ˣ, así que 2 · 2ˣ + 2ˣ = 12.
Saca factor común 2ˣ: 2ˣ · (2 + 1) = 12, es decir, 3 · 2ˣ = 12.
2ˣ = 4 = 2², así que x = 2.
Cambio de variable
Algunas ecuaciones parecen de segundo grado. Fíjate: 4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)². Si llamamos t = 2ˣ, la ecuación se convierte en una ecuación de segundo grado.
Ejemplo resuelto 6
4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0
Cambio de variable t = 2ˣ: t² − 6t + 8 = 0.
Raíces: t₁ = 2, t₂ = 4.
Volvemos a x: 2ˣ = 2 da x = 1; 2ˣ = 4 da x = 2.
Soluciones: x₁ = 1, x₂ = 2.
Ejemplo resuelto 7
4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0
t² − 3t − 4 = 0, raíces t₁ = 4, t₂ = −1.
2ˣ = 4 da x = 2.
2ˣ = −1 no tiene solución: una potencia de base positiva siempre es positiva.
Solución: x = 2.
Cuando no se puede igualar la base
La ecuación 2ˣ = 5 no se puede escribir con la misma base, porque 5 no es una potencia de 2. Una ecuación así se resuelve con un logaritmo: x = log₂ 5 ≈ 2,32. Tienes más en el artículo Los logaritmos.
Errores más frecuentes
Igualar exponentes con bases distintas. De 4ˣ = 8 no se deduce ni x = 8 ni x = 2. Primero iguala las bases.
Olvidar el paréntesis. 9^(x + 1) = 3^(2(x + 1)) = 3^(2x + 2), no 3^(2x + 1).
Sumar exponentes en una suma. 2^(x + 1) + 2ˣ no es 2^(2x + 1). Los exponentes se suman al multiplicar, no al sumar.
Quedarse con un t negativo. En el cambio de variable t = 2ˣ, t tiene que ser positivo.
En resumen
Una ecuación exponencial tiene la incógnita en el exponente.
Escribe los dos miembros como potencias de la misma base e iguala los exponentes.
Una suma de potencias se resuelve sacando factor común.
Una ecuación del tipo 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0 se resuelve con el cambio de variable t = 2ˣ; descarta los t negativos.
Si no se pueden igualar las bases, ayuda el logaritmo.
Pruébalo tú
5^(2x − 1) = 125
8ˣ = 4
3^(x + 2) − 3ˣ = 72
9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0
Soluciones:
125 = 5³, 2x − 1 = 3, x = 2.
2^(3x) = 2², 3x = 2, x = 2/3.
3ˣ · (9 − 1) = 72, 3ˣ = 9, x = 2.
t = 3ˣ: t² − 4t + 3 = 0, t = 1 o t = 3, es decir, x = 0 o x = 1.
