Los logaritmos

Al doblar el papel nos preguntábamos: ¿cuántas veces hay que doblarlo para que tenga 32 capas? Dicho de otro modo: ¿a qué exponente hay que elevar 2 para obtener 32? La respuesta es 5, porque 2⁵ = 32.

Justo a esta pregunta responde el logaritmo. Lo escribimos así: log₂ 32 = 5.

logₐ b = c significa aᶜ = b.

Se lee «el logaritmo en base a de b es igual a c».

Así que el logaritmo es un exponente: el número al que hay que elevar la base a para obtener b.

Índice

Cómo calcular un logaritmo

Método: convierte el logaritmo en una pregunta sobre una potencia.

LogaritmoPreguntaRespuesta
log₂ 8¿2 elevado a qué da 8?3, porque 2³ = 8
log₃ 81¿3 elevado a qué da 81?4, porque 3⁴ = 81
log₁₀ 1000¿10 elevado a qué da 1000?3
log₅ 1¿5 elevado a qué da 1?0, porque 5⁰ = 1
log₂ ⅛¿2 elevado a qué da ⅛?−3, porque 2⁻³ = ⅛

💡 El logaritmo de una fracción menor que 1 (con base mayor que 1) es negativo. La fracción ⅛ es 2⁻³.

Cuándo existe el logaritmo

  • La base a tiene que ser positiva y distinta de 1, igual que en la función exponencial.
  • El argumento b tiene que ser positivo. Una potencia de base positiva siempre es positiva, así que ni log₂ (−4) ni log₂ 0 existen.

logₐ b tiene sentido solo si a > 0, a ≠ 1 y b > 0.

Valores importantes

Para cualquier base válida a se cumple:

  • logₐ 1 = 0, porque a⁰ = 1,
  • logₐ a = 1, porque a¹ = a,
  • logₐ aᵏ = k: el logaritmo «deshace» la potencia,
  • a^(logₐ b) = b: la potencia «deshace» el logaritmo.

Por ejemplo, 3^(log₃ 7) = 7 y 2^(3 + log₂ 5) = 2³ · 2^(log₂ 5) = 8 · 5 = 40.

Logaritmos con resultado fraccionario

El resultado no tiene por qué ser un número entero. En ese caso, escribe la base y el argumento como potencias del mismo número.

Ejemplo resuelto 1

log₄ 8 = ?

  1. Buscamos y tal que 4ʸ = 8.
  2. 4 = 2², 8 = 2³, así que 2^(2y) = 2³.
  3. 2y = 3, es decir, log₄ 8 = 3/2.

Ejemplo resuelto 2

log₂ √2 = ?

Una raíz cuadrada es una potencia de exponente ½: √2 = 2^½. Por tanto, log₂ √2 = ½.

Ejemplo resuelto 3

¿Cuánto vale el logaritmo en base ⅓ de 9?

  1. (⅓)ʸ = 9, es decir, 3^(−y) = 3².
  2. −y = 2, y = −2.

Ecuaciones directamente a partir de la definición

Argumento desconocido

log₂ x = 5. Por la definición, x = 2⁵ = 32.

log₃ x = −2. Por la definición, x = 3⁻² = 1/9.

Base desconocida

logₓ 16 = 2. Por la definición, x² = 16. La base tiene que ser positiva, así que x = 4 (−4 no vale).

logₓ ⅛ = 3. Por la definición, x³ = ⅛, es decir, x = ½.

El logaritmo decimal y la calculadora

El logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal y la base a menudo no se escribe: log 1000 = log₁₀ 1000 = 3. En la calculadora es la tecla log.

Un logaritmo que no sale exacto se calcula con la calculadora. Para una base distinta de 10 usa la fórmula

logₐ b = log b / log a

Por ejemplo, log₂ 5 = log 5 / log 2 ≈ 0,699 / 0,301 ≈ 2,32. Por qué funciona la fórmula lo verás en el artículo Propiedades de los logaritmos.

Errores más frecuentes

  • Confundir la base con el argumento. log₂ 8 es «¿2 elevado a qué da 8?», no «¿8 elevado a qué da 2?» (eso sería ⅓).
  • logₐ 1 = 1. No, logₐ 1 = 0, porque a⁰ = 1.
  • Logaritmo de un número negativo o de cero. No existe.
  • Base negativa cuando la base es la incógnita. De x² = 16 solo vale x = 4.

En resumen

  • logₐ b = c significa aᶜ = b: el logaritmo es un exponente.
  • Tiene que cumplirse a > 0, a ≠ 1, b > 0.
  • logₐ 1 = 0, logₐ a = 1, logₐ aᵏ = k, a^(logₐ b) = b.
  • Si el resultado es fraccionario, escribe la base y el argumento como potencias del mismo número.
  • log sin base es el logaritmo decimal (base 10).

Pruébalo tú

  1. log₃ 27
  2. log₂ (1/16)
  3. log₉ 27
  4. log₅ x = 3
  5. logₓ 49 = 2
Soluciones:
  1. 3, porque 3³ = 27.
  2. −4, porque 2⁻⁴ = 1/16.
  3. 3/2, porque 9 = 3², 27 = 3³ y 2y = 3.
  4. x = 5³ = 125.
  5. x = 7.

Practica

👉 Sigue con: Propiedades de los logaritmos