¿Cuánto es log₆ 4 + log₆ 9? Ninguno de los dos logaritmos da un número entero. Pero su suma sí: 2. ¿Por qué? Porque 4 · 9 = 36 = 6². La suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto.
El logaritmo es un exponente y, por eso, sigue las mismas reglas que los exponentes. De la regla «al multiplicar potencias, los exponentes se suman» sale la propiedad «el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos».
Para números positivos x, y y una base válida a (a > 0, a ≠ 1) se cumple:
Propiedad
Fórmula
Ejemplo
Logaritmo de un producto
logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y
log₂ (4 · 8) = 2 + 3 = 5
Logaritmo de un cociente
logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y
log₃ (81 / 9) = 4 − 2 = 2
Logaritmo de una potencia
logₐ (xᵏ) = k · logₐ x
log₂ (8⁵) = 5 · 3 = 15
Con palabras: producto → suma, cociente → resta, exponente → factor delante del logaritmo.
Por qué se cumplen
Llamemos logₐ x = r y logₐ y = s. Por la definición, x = aʳ e y = aˢ. Entonces
x · y = aʳ · aˢ = a^(r + s),
y por eso logₐ (x · y) = r + s = logₐ x + logₐ y. Las propiedades del cociente y de la potencia se deducen igual a partir de las reglas aʳ : aˢ = a^(r − s) y (aʳ)ᵏ = a^(k·r).
Cálculos sin calculadora
Ejemplo resuelto 1
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.
Ejemplo resuelto 2
log₂ 40 − log₂ 5 = log₂ (40 / 5) = log₂ 8 = 3.
Ejemplo resuelto 3
2 · log₃ 6 − log₃ 4
Pasa el 2 al exponente: 2 · log₃ 6 = log₃ 6² = log₃ 36.
log₃ 36 − log₃ 4 = log₃ (36 / 4) = log₃ 9.
log₃ 9 = 2.
Desarrollar y agrupar logaritmos
En álgebra trabajamos con variables. Para x, y, z positivos:
Desarrollar
logₐ (x² · y / z³) = 2 · logₐ x + logₐ y − 3 · logₐ z.
El numerador da sumas, el denominador restas, y los exponentes pasan delante del logaritmo. Una raíz cuadrada es una potencia de exponente ½: logₐ √z = ½ · logₐ z.
Agrupar en un solo logaritmo
3 · logₐ x + logₐ y − 2 · logₐ z = logₐ (x³ · y / z²).
El proceso es el contrario: pasa los números que están delante de los logaritmos a los exponentes, pon los logaritmos que suman en el numerador y los que restan en el denominador.
Cambio de base
La calculadora solo tiene el logaritmo decimal (log, base 10). Otra base se calcula con la fórmula
logₐ b = log b / log a
Ejemplo resuelto 4
log₂ 3 · log₃ 8
Escribe los dos logaritmos como decimales: (log 3 / log 2) · (log 8 / log 3).
log 3 se simplifica: log 8 / log 2 = log₂ 8.
log₂ 8 = 3.
💡 De la fórmula se deduce también que, por ejemplo, log₂ 5 · log₅ 2 = 1.
Errores más frecuentes
logₐ (x + y) = logₐ x + logₐ y. ¡No! La propiedad vale para el producto, no para la suma. Por ejemplo, log₂ (4 + 4) = 3, pero log₂ 4 + log₂ 4 = 4.
logₐ x · logₐ y = logₐ (x · y). No, un producto de logaritmos no se simplifica así.
logₐ x / logₐ y = logₐ (x / y). No, el cociente de logaritmos es un cambio de base: es el logaritmo en base y de x.
(logₐ x)² = 2 · logₐ x. No, el exponente solo se pasa delante si está en el argumento: logₐ (x²) = 2 · logₐ x.
En resumen
logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y.
logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y.
logₐ (xᵏ) = k · logₐ x.
logₐ b = log b / log a (cambio de base).
Las propiedades no valen para el logaritmo de una suma ni para un producto de logaritmos.