Exponenciální funkce y = 2ˣ udělá z čísla 3 číslo 8. Co když chceme jít opačně — z 8 zpátky na 3? Potřebujeme funkci, která odpoví „na kolikátou je potřeba umocnit 2, aby vyšlo 8“. To je logaritmus: log₂ 8 = 3.
Funkce y = logₐ x se nazývá logaritmická funkce. Je to inverzní funkce k exponenciální funkci y = aˣ — dělá přesně opačnou práci.
Inverzní funkce vymění vstup a výstup. Bod [3; 8] leží na grafu y = 2ˣ, proto bod [8; 3] leží na grafu y = log₂ x. Stejně tak [0; 1] ↔ [1; 0] a [1; 2] ↔ [2; 1].
Výměna souřadnic je zrcadlení podle přímky y = x.
![Oranžový graf y = 2ˣ a přerušovaný graf y = log₂ x jsou souměrné podle přerušované přímky y = x; body [0; 1] a [1; 2] na grafu exponenciální funkce a [1; 0] a [2; 1] na grafu logaritmu](/images/high-school/exponential-logarithmic-functions/log-exp-inverse.png)
Grafy y = aˣ a y = logₐ x jsou souměrné podle přímky y = x.
Definiční obor tvoří jen kladná čísla: log₂ 0 ani log₂ (−4) neexistují.
Obor hodnot tvoří všechna reálná čísla. Logaritmus může být i záporný: log₂ ½ = −1.
Graf vždy prochází bodem [1; 0], protože logₐ 1 = 0, a bodem [a; 1], protože logₐ a = 1.
Asymptota je osa y: když se x blíží k nule, logaritmus klesá (nebo roste) neomezeně.
Základ větší a menší než 1
![Oranžový graf y = log₂ x roste, přerušovaný graf logaritmu o základu ½ klesá; oba procházejí bodem [1; 0]](/images/high-school/exponential-logarithmic-functions/log-bases.png)
Při a > 1 je logaritmická funkce rostoucí (například log₂ x: 1 → 0, 2 → 1, 4 → 2, 8 → 3). Roste ale velmi pomalu.
Při 0 < a < 1 je klesající (například logaritmus o základu ½: 2 → −1, 4 → −2).
Grafy log₂ x a logaritmu o základu ½ jsou souměrné podle osy x.
Posunutý graf
Stejně jako u jiných funkcí:
y = logₐ (x − m) je graf posunutý o m doprava, svislá asymptota je x = m,
y = logₐ x + n je graf posunutý o n nahoru.
Řešený příklad 1
y = log₂ (x − 1) + 2
Asymptota: x = 1. Definiční obor: x > 1.
Bod [1; 0] se posune na [2; 2] — tam je argument x − 1 = 1.
Základ 2 > 1, funkce roste.
Inverzní funkce k posunuté exponenciální funkci
Postup je stejný jako u každé inverzní funkce: vyměň x a y a vyjádři y.
Řešený příklad 2
Najdi inverzní funkci k f(x) = 2ˣ + 1.
y = 2ˣ + 1.
Výměna: x = 2ʸ + 1.
2ʸ = x − 1, tedy y = log₂ (x − 1).
Výsledek: f⁻¹(x) = log₂ (x − 1).
Kontrola oborů: f nabývá hodnot větších než 1, proto definiční obor f⁻¹ je x > 1. Sedí to — logaritmus z x − 1 vyžaduje x > 1.
💡 Obecně: inverzní funkce k y = a^(x − m) + n je y = logₐ (x − n) + m. Posuny se vymění, stejně jako souřadnice.
Nejčastější chyby
„log₂ x je definovaný pro všechna x.“ Ne, jen pro x > 0.
Záměna asymptot. Exponenciální funkce má vodorovnou asymptotu (osa x), logaritmická svislou (osa y).
Špatný posun u inverzní funkce. K y = 2ˣ + 1 není inverzní y = log₂ x − 1, ale y = log₂ (x − 1).
Souměrnost podle osy. Grafy aˣ a logₐ x jsou souměrné podle přímky y = x, ne podle osy y.
Ve zkratce
y = logₐ x je inverzní funkce k y = aˣ.
Definiční obor (0; ∞), obor hodnot ℝ, bod [1; 0], asymptota x = 0.
Při a > 1 roste, při 0 < a < 1 klesá.
Graf je zrcadlový obraz grafu aˣ podle přímky y = x.
Inverzní funkce k y = a^(x − m) + n je y = logₐ (x − n) + m.
Zkus si sám
Jaký definiční obor má y = log₃ (x + 2)?
Kterým bodem prochází graf y = log₅ x, když y = 1?
Bod [2; 9] leží na grafu y = 3ˣ. Který bod leží na grafu y = log₃ x?
Najdi inverzní funkci k f(x) = 3^(x − 2).
Řešení:
x + 2 > 0, tedy x > −2.
[5; 1].
[9; 2].
x = 3^(y − 2), y − 2 = log₃ x, f⁻¹(x) = log₃ x + 2.