Vezmi list papíru a přelož ho napůl. Máš 2 vrstvy. Přelož ho ještě jednou — 4 vrstvy. Pak 8, 16, 32. Každé přeložení počet vrstev zdvojnásobí. Po x přeloženích máš 2ˣ vrstev.
Takové „násobení pořád stejným číslem“ popisuje exponenciální funkce. Proměnná x tu není v základu, ale v exponentu — odtud název.
Exponenciální funkce má předpis y = aˣ, kde základ a je kladné číslo různé od 1. Čteme „y se rovná a na x“.
Krok doleva hodnotu rozpůlí. Hodnota se blíží k nule, ale nikdy nulou nebude: ½, ¼, ⅛, …
Připomeň si: 2⁰ = 1 a záporný exponent znamená převrácenou hodnotu, například 2⁻² = 1/2² = ¼.
![Graf funkcí y = 2ˣ (oranžová), y = 3ˣ (plná černá) a y = (½)ˣ (přerušovaná černá); všechny tři procházejí bodem [0; 1]](/images/high-school/exponential-logarithmic-functions/exp-bases.png)
Na obrázku jsou tři exponenciální funkce. Všechny procházejí bodem [0; 1], protože každé kladné číslo na nultou je 1.
y = 3ˣ roste rychleji než y = 2ˣ: větší základ, strmější graf.
y = (½)ˣ je zrcadlový obraz y = 2ˣ podle osy y. Při základu mezi 0 a 1 funkce klesá.
Proč musí být základ kladný a různý od 1
Základ 1: 1ˣ = 1 pro každé x. To je konstantní funkce, nic exponenciálního na ní není.
Záporný základ: (−2)^½ = √(−2) neexistuje. Funkce by nebyla definovaná pro mnoho x.
Základ 0: 0⁻¹ = 1/0 nemá smysl.
Proto vždy platí a > 0 a a ≠ 1 (čteme „a je větší než nula a různé od jedné“).
Vlastnosti exponenciální funkce
Vlastnost
a > 1 (např. 2ˣ)
0 < a < 1 (např. (½)ˣ)
Definiční obor
všechna reálná čísla ℝ
všechna reálná čísla ℝ
Obor hodnot
(0; ∞), jen kladná čísla
(0; ∞), jen kladná čísla
Monotonie
rostoucí
klesající
Bod grafu
[0; 1]
[0; 1]
Asymptota
osa x, tedy y = 0 (vlevo)
osa x, tedy y = 0 (vpravo)
Asymptota je přímka, ke které se graf stále víc přibližuje, ale nikdy se jí nedotkne. U y = 2ˣ je to osa x: hodnoty ½, ¼, ⅛ … jsou stále blíž k nule, ale pořád kladné.
💡 Funkce je prostá — každou hodnotu nabývá jen jednou. Díky tomu má inverzní funkci, logaritmus. Víc v článku Logaritmická funkce.
Posunutý graf
Předpis y = a^(x − m) + n posouvá graf y = aˣ:
o m doprava (při záporném m doleva),
o n nahoru (při záporném n dolů).
Spolu s grafem se posune i asymptota a bod [0; 1].
Řešený příklad
Načrtni graf y = 2^(x − 2) + 1.
Asymptota se posune o 1 nahoru: y = 1.
Bod [0; 1] se posune o 2 doprava a o 1 nahoru: [2; 2]. Je to místo, kde je exponent nula: x − 2 = 0.
O jednotku dál doprava je exponent 1: y = 2¹ + 1 = 3, bod [3; 3].
Základ 2 je větší než 1, funkce roste.
![Přerušovaný graf y = 2ˣ a oranžový graf y = 2^(x − 2) + 1, který je posunutý o 2 doprava a o 1 nahoru; asymptota y = 1, body [0; 1] a [2; 2]](/images/high-school/exponential-logarithmic-functions/exp-shift.png)
💡 Jak poznat předpis z grafu? Najdi asymptotu (to je n), bod, kde je graf ve výšce 1 nad asymptotou (jeho x je m), a o jednotku dál přečti, kolikrát graf narostl (to je a).
Nejčastější chyby
Záměna s mocninnou funkcí. y = x² má proměnnou v základu, y = 2ˣ v exponentu. Pro x = 10 je x² = 100, ale 2¹⁰ = 1 024.
„Graf protne osu x.“ Neprotne. Exponenciální funkce y = aˣ je vždy kladná.
Špatné znaménko posunu. y = 2^(x − 2) je posunutá o 2 doprava, ne doleva. Bod [2; 2] má exponent 2 − 2 = 0.
2⁻¹ = −2. Ne, 2⁻¹ = ½. Záporný exponent dává převrácenou hodnotu, ne záporné číslo.
Ve zkratce
Exponenciální funkce: y = aˣ, kde a > 0 a a ≠ 1.
Při a > 1 roste, při 0 < a < 1 klesá.
Graf vždy prochází bodem [0; 1], obor hodnot jsou kladná čísla, asymptota je osa x.
y = a^(x − m) + n je graf posunutý o m doprava a o n nahoru, asymptota y = n.
Zkus si sám
Spočítej hodnoty y = 3ˣ pro x = −1, 0, 2.
Je funkce y = (0,8)ˣ rostoucí, nebo klesající?
Jakou asymptotu má graf y = 5ˣ − 3?
Kterým bodem prochází graf y = 2^(x + 1) v místě, kde je exponent nula?