Exponenciální růst a pokles

Uložíš do banky 1 000 Kč s úrokem 5 % ročně. Po roce máš 1 050 Kč. Po druhém roce ale banka počítá 5 % už z 1 050 Kč, ne z 1 000 Kč. Úrok se připisuje i z úroků — částka roste čím dál rychleji.

To je exponenciální růst: za stejnou dobu se veličina vždy vynásobí stejným číslem. Při poklesu je to číslo menší než 1.

Obsah

Vzorec pro exponenciální růst

Má-li veličina na začátku hodnotu N₀ (čteme „N nula“) a za každé období se vynásobí číslem q, po n obdobích má hodnotu

N = N₀ · qⁿ

Číslu q říkáme násobitel (koeficient růstu):

  • růst o p % za období: q = 1 + p/100, například růst o 5 % dává q = 1,05,
  • pokles o p % za období: q = 1 − p/100, například pokles o 15 % dává q = 0,85,
  • zdvojnásobení: q = 2, rozpůlení: q = ½.

Je to vlastně exponenciální funkce, o které je článek Exponenciální funkce — proměnná n je v exponentu.

Složené úročení

Řešený příklad 1

Na účet uložíme 2 000 Kč s roční úrokovou sazbou 3 %. Úrok se připisuje jednou ročně. Kolik korun bude na účtu po 4 letech (daň neuvažujeme)?

  1. Počáteční částka: N₀ = 2 000.
  2. Násobitel: q = 1 + 3/100 = 1,03.
  3. Počet let: n = 4.
  4. N = 2 000 · 1,03⁴ ≈ 2 000 · 1,1255 ≈ 2 251,02.

Po 4 letech bude na účtu přibližně 2 251 Kč.

💡 Zaokrouhluj až na konci. Když zaokrouhlíš 1,03⁴ na 1,13, vyjde 2 260 Kč — o 9 Kč víc.

Pokles o procento

Řešený příklad 2

Auto stojí 20 000 Kč. Každý rok ztratí 15 % své hodnoty z předchozího roku. Jakou hodnotu bude mít po 3 letech?

  1. Pokles o 15 %: q = 1 − 0,15 = 0,85.
  2. N = 20 000 · 0,85³ = 20 000 · 0,614125 = 12 282,5.

Po 3 letech bude mít auto hodnotu asi 12 283 Kč.

⚠️ Pozor: za 3 roky neztratilo 3 · 15 % = 45 %. Ztratilo jen asi 38,6 %, protože každý rok se počítá 15 % z menší částky.

Poločas rozpadu

Radioaktivní látky se rozpadají. Poločas rozpadu T je doba, za kterou se rozpadne polovina látky. Po jednom poločase zůstane ½, po dvou ¼, po třech ⅛.

Křivka rozpadu: na začátku 8, po 2 jednotkách času 4, po 4 jednotkách 2, po 6 jednotkách 1 — každé 2 jednotky polovina

Uplynula-li doba t, uplynulo t/T poločasů, a proto

m = m₀ · (½)^(t/T)

Řešený příklad 3

Izotop jódu má poločas rozpadu 8 dní. Máme 640 g. Kolik zůstane po 24 dnech?

  1. Počet poločasů: 24 / 8 = 3.
  2. m = 640 · (½)³ = 640 / 8 = 80 g.

Vzorec funguje i tehdy, když t/T není celé číslo. Po 12 dnech zůstane 640 · (½)^1,5 ≈ 226,3 g.

Když hledáme čas nebo procento

Za kolik let?

Za kolik celých let se vklad při úroku 4 % poprvé zdvojnásobí?

  1. Chceme 1,04ⁿ ≥ 2.
  2. Neznámá je v exponentu. Pomůže logaritmus (víc v článku Logaritmus): n ≥ log 2 / log 1,04 ≈ 17,67.
  3. Celé roky: n = 18. Po 17 letech ještě vklad zdvojnásobený není.

O kolik procent ročně?

Město mělo 40 000 obyvatel, po 5 letech 46 000. Jaký byl stejný roční přírůstek?

  1. 40 000 · q⁵ = 46 000, tedy q⁵ = 1,15.
  2. q je pátá odmocnina z 1,15: q ≈ 1,0284.
  3. Roční přírůstek je asi 2,8 %.

Nejčastější chyby

  • Sčítání procent. Růst o 5 % ročně po dobu 10 let není růst o 50 %. Je to 1,05¹⁰ ≈ 1,63, tedy asi o 63 %.
  • Špatný násobitel při poklesu. Pokles o 20 % je násobení číslem 0,8, ne 0,2.
  • Zaokrouhlování během výpočtu. Násobitel umocni přesně a zaokrouhli až výsledek.
  • Celé roky. Když vyjde n ≈ 17,67 a otázka zní „po kolika celých letech“, odpověď je 18, ne 17.

Ve zkratce

  • Exponenciální růst a pokles: N = N₀ · qⁿ.
  • Růst o p %: q = 1 + p/100. Pokles o p %: q = 1 − p/100.
  • Poločas rozpadu T: m = m₀ · (½)^(t/T).
  • Neznámý čas najdeš logaritmem, neznámý násobitel odmocninou.

Zkus si sám

  1. Bakterií je 300 a každou hodinu se jejich počet zdvojnásobí. Kolik jich bude po 5 hodinách?
  2. Na účtu je 5 000 Kč s úrokem 2 % ročně. Kolik bude na účtu po 3 letech? Zaokrouhli na celé koruny.
  3. Poločas rozpadu látky je 10 let. Jaká část zůstane po 30 letech?
Řešení:
  1. 300 · 2⁵ = 300 · 32 = 9 600 bakterií.
  2. 5 000 · 1,02³ = 5 306,04, tedy asi 5 306 Kč.
  3. 30 / 10 = 3 poločasy, zůstane (½)³ = ⅛.

Procvič si

👉 Další článek: Exponenciální rovnice