Logaritmus

Při překládání papíru jsme se ptali: kolikrát je potřeba papír přeložit, aby měl 32 vrstev? Jinými slovy: na kolikátou je potřeba umocnit 2, aby vyšlo 32? Odpověď je 5, protože 2⁵ = 32.

Přesně na takovou otázku odpovídá logaritmus. Zapisujeme ji log₂ 32 = 5.

logₐ b = c znamená aᶜ = b.
Čteme „logaritmus b o základu a se rovná c“.

Logaritmus je tedy exponent: číslo, na které je potřeba umocnit základ a, aby vyšlo b.

Jak spočítat logaritmus

Postup: přepiš logaritmus na otázku o mocnině.

Logaritmus	Otázka	Odpověď
log₂ 8	2 na kolikátou je 8?	3, protože 2³ = 8
log₃ 81	3 na kolikátou je 81?	4, protože 3⁴ = 81
log₁₀ 1 000	10 na kolikátou je 1 000?	3
log₅ 1	5 na kolikátou je 1?	0, protože 5⁰ = 1
log₂ ⅛	2 na kolikátou je ⅛?	−3, protože 2⁻³ = ⅛

💡 Logaritmus zlomku menšího než 1 (při základu větším než 1) je záporný. Zlomek ⅛ je 2⁻³.

Kdy logaritmus existuje

Základ a musí být kladný a různý od 1 — stejně jako u exponenciální funkce.
Argument b musí být kladný. Mocnina s kladným základem je vždy kladná, takže log₂ (−4) ani log₂ 0 neexistují.

logₐ b má smysl, jen když a > 0, a ≠ 1 a b > 0.

Důležité hodnoty

Pro každý přípustný základ a platí:

logₐ 1 = 0, protože a⁰ = 1,
logₐ a = 1, protože a¹ = a,
logₐ aᵏ = k — logaritmus „zruší“ mocninu,
a^(logₐ b) = b — mocnina „zruší“ logaritmus.

Například 3^(log₃ 7) = 7 a 2^(3 + log₂ 5) = 2³ · 2^(log₂ 5) = 8 · 5 = 40.

Logaritmy se zlomkovým výsledkem

Výsledek nemusí být celé číslo. Pak zapiš základ i argument jako mocninu stejného čísla.

Řešený příklad 1

log₄ 8 = ?

Hledáme y, pro které 4ʸ = 8.
4 = 2², 8 = 2³, proto 2^(2y) = 2³.
2y = 3, tedy log₄ 8 = 3/2.

Řešený příklad 2

log₂ √2 = ?

Odmocnina je mocnina s exponentem ½: √2 = 2^½. Proto log₂ √2 = ½.

Řešený příklad 3

Logaritmus 9 o základu ⅓ = ?

(⅓)ʸ = 9, tedy 3^(−y) = 3².
−y = 2, y = −2.

Rovnice přímo z definice

Neznámý argument

log₂ x = 5. Z definice x = 2⁵ = 32.

log₃ x = −2. Z definice x = 3⁻² = 1/9.

Neznámý základ

logₓ 16 = 2. Z definice x² = 16. Základ musí být kladný, proto x = 4 (−4 nevyhovuje).

logₓ ⅛ = 3. Z definice x³ = ⅛, tedy x = ½.

Dekadický logaritmus a kalkulačka

Logaritmus o základu 10 se nazývá dekadický a základ se často nepíše: log 1 000 = log₁₀ 1 000 = 3. Na kalkulačce je to tlačítko log.

Logaritmus, který nevyjde pěkně, spočítáš na kalkulačce. Pro jiný základ než 10 použij vzorec

logₐ b = log b / log a

Například log₂ 5 = log 5 / log 2 ≈ 0,699 / 0,301 ≈ 2,32. Proč vzorec platí, uvidíš v článku Pravidla pro počítání s logaritmy.

Nejčastější chyby

Záměna základu a argumentu. log₂ 8 je „2 na kolikátou je 8“, ne „8 na kolikátou je 2“ (to by bylo ⅓).
logₐ 1 = 1. Ne, logₐ 1 = 0, protože a⁰ = 1.
Logaritmus záporného čísla nebo nuly. Neexistuje.
Záporný základ při neznámém základu. Z x² = 16 vyhovuje jen x = 4.

Ve zkratce

logₐ b = c znamená aᶜ = b: logaritmus je exponent.
Musí platit a > 0, a ≠ 1, b > 0.
logₐ 1 = 0, logₐ a = 1, logₐ aᵏ = k, a^(logₐ b) = b.
Při zlomkovém výsledku zapiš základ i argument jako mocninu stejného čísla.
log bez základu je dekadický logaritmus (základ 10).

Zkus si sám

log₃ 27
log₂ (1/16)
log₉ 27
log₅ x = 3
logₓ 49 = 2

Řešení:

3, protože 3³ = 27.
−4, protože 2⁻⁴ = 1/16.
3/2, protože 9 = 3², 27 = 3³ a 2y = 3.
x = 5³ = 125.
x = 7.

Procvič si

👉 Další článek: Pravidla pro počítání s logaritmy