Exponenciální rovnice

Kolikrát je potřeba přeložit papír, aby měl 32 vrstev? Každé přeložení počet vrstev zdvojnásobí, proto hledáme x takové, že 2ˣ = 32. Zkoušením: 2, 4, 8, 16, 32 — pětkrát. Tedy x = 5.

Rovnice, ve které je neznámá v exponentu, je exponenciální rovnice. Ukážeme si, jak ji řešit bez zkoušení.

Obsah

Hlavní myšlenka: stejný základ

Exponenciální funkce je prostá: dvě různá x nikdy nedají stejnou hodnotu. Proto platí:

Rovnají-li se mocniny se stejným základem, rovnají se i exponenty: aʳ = aˢ ⇒ r = s.

Šipku ⇒ čteme „z toho plyne“.

Graf y = 2ˣ a vodorovná přímka y = 8 se protínají v bodě, kde x = 3

Na obrázku je řešení rovnice 2ˣ = 8 vidět jako průsečík grafu y = 2ˣ s přímkou y = 8. Protínají se v x = 3.

Řešený příklad 1

3^(x − 1) = 27

  1. Přepiš 27 jako mocninu trojky: 27 = 3³.
  2. 3^(x − 1) = 3³.
  3. Porovnej exponenty: x − 1 = 3.
  4. x = 4.

Zkouška: 3^(4 − 1) = 3³ = 27 ✓.

Převod na mocninu stejného základu

Často je potřeba základy sjednotit. Pomáhají tyto přepisy:

Číslo48927½¼√21
Jako mocnina2²2³3²3³2⁻¹2⁻²2^½2⁰

Řešený příklad 2

4ˣ = 8

  1. 4 = 2² a 8 = 2³, proto (2²)ˣ = 2³.
  2. Mocnina mocniny: (2²)ˣ = 2^(2x).
  3. 2x = 3, tedy x = 3/2.

Řešený příklad 3

9^(x + 1) = 27ˣ

  1. 9 = 3², 27 = 3³: 3^(2(x + 1)) = 3^(3x).
  2. 2x + 2 = 3x.
  3. x = 2.

Řešený příklad 4

(½)ˣ = 16

  1. ½ = 2⁻¹ a 16 = 2⁴: 2^(−x) = 2⁴.
  2. −x = 4, tedy x = −4.

Vytýkání před závorku

Když se v rovnici mocniny sčítají, porovnat exponenty nejde. Pomůže vytknout společnou mocninu.

Řešený příklad 5

2^(x + 1) + 2ˣ = 12

  1. 2^(x + 1) = 2 · 2ˣ, proto 2 · 2ˣ + 2ˣ = 12.
  2. Vytkni 2ˣ: 2ˣ · (2 + 1) = 12, tedy 3 · 2ˣ = 12.
  3. 2ˣ = 4 = 2², proto x = 2.

Substituce

Některé rovnice vypadají jako kvadratické. Podívej se: 4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)². Když označíme t = 2ˣ, z rovnice se stane kvadratická.

Řešený příklad 6

4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0

  1. Substituce t = 2ˣ: t² − 6t + 8 = 0.
  2. Kořeny: t₁ = 2, t₂ = 4.
  3. Návrat k x: 2ˣ = 2 dává x = 1, 2ˣ = 4 dává x = 2.

Řešení: x₁ = 1, x₂ = 2.

Řešený příklad 7

4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0

  1. t² − 3t − 4 = 0, kořeny t₁ = 4, t₂ = −1.
  2. 2ˣ = 4 dává x = 2.
  3. 2ˣ = −1 nemá řešení — mocnina s kladným základem je vždy kladná.

Řešení: x = 2.

Když základy sjednotit nejde

Rovnici 2ˣ = 5 nepřepíšeš na stejný základ — 5 není mocnina dvojky. Takovou rovnici vyřešíš logaritmem: x = log₂ 5 ≈ 2,32. Víc v článku Logaritmus.

Nejčastější chyby

  • Porovnání exponentů při různých základech. Z 4ˣ = 8 neplyne x = 8 ani x = 2. Nejdřív sjednoť základy.
  • Zapomenutá závorka. 9^(x + 1) = 3^(2(x + 1)) = 3^(2x + 2), ne 3^(2x + 1).
  • Sčítání exponentů u součtu. 2^(x + 1) + 2ˣ není 2^(2x + 1). Exponenty se sčítají při násobení, ne při sčítání.
  • Ponechané záporné t. Při substituci t = 2ˣ musí být t kladné.

Ve zkratce

  • Exponenciální rovnice má neznámou v exponentu.
  • Přepiš obě strany na mocninu se stejným základem a porovnej exponenty.
  • Součet mocnin řeš vytknutím před závorku.
  • Rovnici typu 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0 řeš substitucí t = 2ˣ; záporné t vyřaď.
  • Když se základy sjednotit nedají, pomůže logaritmus.

Zkus si sám

  1. 5^(2x − 1) = 125
  2. 8ˣ = 4
  3. 3^(x + 2) − 3ˣ = 72
  4. 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0
Řešení:
  1. 125 = 5³, 2x − 1 = 3, x = 2.
  2. 2^(3x) = 2², 3x = 2, x = 2/3.
  3. 3ˣ · (9 − 1) = 72, 3ˣ = 9, x = 2.
  4. t = 3ˣ: t² − 4t + 3 = 0, t = 1 nebo t = 3, tedy x = 0 nebo x = 1.

Procvič si

👉 Další článek: Logaritmus