Logaritmické rovnice

Pro jakou hodnotu x platí log₂ x = 3? Logaritmus je exponent, takže se ptáme: kolik je 2 na třetí? Osm. Proto x = 8.

Rovnice, ve které je neznámá v argumentu logaritmu, je logaritmická rovnice. Řešíme ji tak, že se logaritmu zbavíme — a potom si ověříme, jestli výsledek vůbec smí stát v logaritmu.

Graf y = log₂ x a vodorovná přímka y = 3 se protínají v bodě, kde x = 8

Obsah

Nejdřív podmínka

Logaritmus existuje jen z kladného čísla. Proto si před řešením napíšeme podmínku: každý argument logaritmu musí být větší než nula.

U log₂ (x − 3) musí platit x − 3 > 0, tedy x > 3.

Na konci každý kořen s podmínkou porovnáme. Kořen, který ji nesplňuje, není řešením.

Rovnice z definice

Je-li na jedné straně logaritmus a na druhé číslo, použijeme definici: logₐ A = c znamená A = aᶜ.

Řešený příklad 1

log₂ (x + 7) = 2

  1. Podmínka: x + 7 > 0, tedy x > −7.
  2. Z definice: x + 7 = 2² = 4.
  3. x = −3. Vyhovuje podmínce (−3 > −7).

Řešení: x = −3.

Rovnost dvou logaritmů

Rovnají-li se logaritmy se stejným základem, rovnají se i argumenty: logₐ A = logₐ B znamená A = B.

Řešený příklad 2

log₃ (x² − 9) = log₃ (x + 3)

  1. Podmínka: x + 3 > 0 a x² − 9 > 0.
  2. x² − 9 = x + 3, tedy x² − x − 12 = 0.
  3. (x − 4)(x + 3) = 0, kořeny 4 a −3.
  4. Ověření podmínky: pro x = −3 je x + 3 = 0 — logaritmus nuly neexistuje. Pro x = 4 je x + 3 = 7 > 0 a x² − 9 = 7 > 0.

Řešení: x = 4.

Součet a rozdíl logaritmů

Nejdřív logaritmy sloučíme pravidly z článku Pravidla pro počítání s logaritmy.

Řešený příklad 3

log₂ x + log₂ (x + 2) = 3

  1. Podmínka: x > 0 a x + 2 > 0, dohromady x > 0.
  2. Sloučení: log₂ (x(x + 2)) = 3.
  3. Z definice: x(x + 2) = 2³ = 8, tedy x² + 2x − 8 = 0.
  4. Kořeny: x = 2 a x = −4.
  5. −4 nesplňuje podmínku x > 0.

Řešení: x = 2.

Řešený příklad 4

log₂ (x − 4) − log₂ (x − 3) = 1

  1. Podmínka: x > 4.
  2. Sloučení: log₂ ((x − 4)/(x − 3)) = 1, tedy (x − 4)/(x − 3) = 2.
  3. x − 4 = 2x − 6, x = 2.
  4. 2 nesplňuje podmínku x > 4.

Rovnice nemá řešení. I takový výsledek je správná odpověď.

Substituce

Objeví-li se v rovnici logaritmus i jeho druhá mocnina, označíme t = logₐ x.

Řešený příklad 5

(log₂ x)² − 3 · log₂ x + 2 = 0

  1. Podmínka: x > 0.
  2. Substituce t = log₂ x: t² − 3t + 2 = 0, kořeny t = 1 a t = 2.
  3. log₂ x = 1 dává x = 2, log₂ x = 2 dává x = 4.

Řešení: x₁ = 2, x₂ = 4.

💡 Při substituci smí být t i záporné — log₂ x = −1 dává x = ½. Na rozdíl od exponenciální rovnice tu nic nevyřazujeme.

Nejčastější chyby

  • Chybějící podmínka. Bez ní zůstanou ve výsledku kořeny, pro které by byl argument záporný nebo nula.
  • „Krácení“ logaritmu u součtu. log (x + 2) není log x + log 2.
  • Slučování s různými základy. log₂ x + log₃ x se nedá sloučit jedním pravidlem.
  • Zapomenutá odpověď „nemá řešení“. Když všechny kořeny vypadnou, rovnice řešení nemá.

Ve zkratce

  • Podmínka: každý argument logaritmu musí být kladný.
  • logₐ A = c ⇒ A = aᶜ; logₐ A = logₐ B ⇒ A = B.
  • Součet a rozdíl logaritmů nejdřív sluč pravidly.
  • U (logₐ x)² použij substituci t = logₐ x.
  • Na konci ověř každý kořen v podmínce.

Zkus si sám

  1. log₃ (2x − 1) = 2
  2. log₅ (x + 1) + log₅ (x − 3) = 1
  3. log₂ (x + 1) − log₂ (x − 2) = 2
  4. (log₁₀ x)² − log₁₀ x = 0
Řešení:
  1. 2x − 1 = 9, x = 5.
  2. (x + 1)(x − 3) = 5, x² − 2x − 8 = 0, kořeny 4 a −2. Podmínka x > 3, řešení x = 4.
  3. x + 1 = 4(x − 2), x = 3. Podmínka x > 2, řešení x = 3.
  4. t² − t = 0, t = 0 nebo t = 1, tedy x = 1 nebo x = 10.

Procvič si

👉 Další článek: Logaritmická funkce