Pravidla pro počítání s logaritmy

Kolik je log₆ 4 + log₆ 9? Ani jeden z logaritmů nevyjde celý. Jejich součet ale ano: 2. Proč? Protože 4 · 9 = 36 = 6². Součet logaritmů se rovná logaritmu součinu.

Logaritmus je exponent, a proto se řídí stejnými pravidly jako exponenty. Z pravidla „při násobení mocnin se exponenty sčítají“ dostaneme pravidlo „logaritmus součinu je součet logaritmů“.

Obsah

Tři základní pravidla

Pro kladná čísla x, y a přípustný základ a (a > 0, a ≠ 1) platí:

PravidloVzorecPříklad
Logaritmus součinulogₐ (x · y) = logₐ x + logₐ ylog₂ (4 · 8) = 2 + 3 = 5
Logaritmus podílulogₐ (x / y) = logₐ x − logₐ ylog₃ (81 / 9) = 4 − 2 = 2
Logaritmus mocninylogₐ (xᵏ) = k · logₐ xlog₂ (8⁵) = 5 · 3 = 15

Slovy: součin → součet, podíl → rozdíl, exponent → násobek před logaritmem.

Proč pravidla platí

Označme logₐ x = r a logₐ y = s. Z definice x = aʳ a y = aˢ. Potom

x · y = aʳ · aˢ = a^(r + s),

a proto logₐ (x · y) = r + s = logₐ x + logₐ y. Pravidlo pro podíl a mocninu se odvodí stejně z pravidel aʳ : aˢ = a^(r − s) a (aʳ)ᵏ = a^(k·r).

Výpočty bez kalkulačky

Řešený příklad 1

log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Řešený příklad 2

log₂ 40 − log₂ 5 = log₂ (40 / 5) = log₂ 8 = 3.

Řešený příklad 3

2 · log₃ 6 − log₃ 4

  1. Číslo 2 přesuň do exponentu: 2 · log₃ 6 = log₃ 6² = log₃ 36.
  2. log₃ 36 − log₃ 4 = log₃ (36 / 4) = log₃ 9.
  3. log₃ 9 = 2.

Rozepsání a sloučení logaritmů

V algebře pracujeme s proměnnými. Pro kladná x, y, z:

Rozepsání

logₐ (x² · y / z³) = 2 · logₐ x + logₐ y − 3 · logₐ z.

Čitatel dává plusy, jmenovatel minus, exponenty jdou před logaritmus. Odmocnina je mocnina s exponentem ½: logₐ √z = ½ · logₐ z.

Sloučení do jednoho logaritmu

3 · logₐ x + logₐ y − 2 · logₐ z = logₐ (x³ · y / z²).

Postup je opačný: čísla před logaritmy přesuň do exponentů, logaritmy se znaménkem plus dej do čitatele, se znaménkem minus do jmenovatele.

Přechod k jinému základu

Kalkulačka umí jen dekadický logaritmus (log, základ 10). Jiný základ přepočítáme vzorcem

logₐ b = log b / log a

Řešený příklad 4

log₂ 3 · log₃ 8

  1. Přepiš oba logaritmy na dekadické: (log 3 / log 2) · (log 8 / log 3).
  2. log 3 se vykrátí: log 8 / log 2 = log₂ 8.
  3. log₂ 8 = 3.

💡 Ze vzorce plyne i to, že například log₂ 5 · log₅ 2 = 1.

Nejčastější chyby

  • logₐ (x + y) = logₐ x + logₐ y. Ne! Pravidlo platí pro součin, ne pro součet. Například log₂ (4 + 4) = 3, ale log₂ 4 + log₂ 4 = 4.
  • logₐ x · logₐ y = logₐ (x · y). Ne, součin logaritmů se takto nezjednoduší.
  • logₐ x / logₐ y = logₐ (x / y). Ne, podíl logaritmů je přechod k jinému základu — je to logaritmus x o základu y.
  • (logₐ x)² = 2 · logₐ x. Ne, exponent se přesouvá jen z argumentu: logₐ (x²) = 2 · logₐ x.

Ve zkratce

  • logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y.
  • logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y.
  • logₐ (xᵏ) = k · logₐ x.
  • logₐ b = log b / log a (přechod k jinému základu).
  • Pravidla neplatí pro logaritmus součtu ani pro součin logaritmů.

Zkus si sám

  1. log₁₀ 4 + log₁₀ 25
  2. log₃ 54 − log₃ 2
  3. 3 · log₂ 6 − log₂ 27
  4. Rozepiš log (x³ / y).
  5. log₅ 7 · log₇ 25
Řešení:
  1. log₁₀ 100 = 2.
  2. log₃ 27 = 3.
  3. log₂ (216 / 27) = log₂ 8 = 3.
  4. 3 · log x − log y.
  5. log₅ 25 = 2.

Procvič si

👉 Další článek: Logaritmické rovnice