Logarithmusgleichungen

Für welches x gilt log₂ x = 3? Der Logarithmus ist ein Exponent, also fragen wir: Wie viel ist 2 hoch 3? Acht. Deshalb ist x = 8.

Eine Gleichung, in der die Unbekannte im Argument eines Logarithmus steht, heißt Logarithmusgleichung. Wir lösen sie, indem wir den Logarithmus loswerden — und prüfen danach, ob das Ergebnis überhaupt im Logarithmus stehen darf.

Der Graph von y = log₂ x und die waagerechte Gerade y = 3 schneiden sich an der Stelle x = 8

Inhalt

Zuerst die Bedingung

Einen Logarithmus gibt es nur von einer positiven Zahl. Deshalb schreiben wir vor dem Lösen die Bedingung auf (den Definitionsbereich): Jedes Argument eines Logarithmus muss größer als null sein.

Bei log₂ (x − 3) muss x − 3 > 0 gelten, also x > 3.

Am Ende vergleichen wir jede gefundene Zahl mit der Bedingung. Eine Zahl, die sie nicht erfüllt, ist keine Lösung.

Gleichungen mit der Definition lösen

Steht auf einer Seite ein Logarithmus und auf der anderen eine Zahl, benutzen wir die Definition: logₐ A = c bedeutet A = aᶜ.

Beispiel 1

log₂ (x + 7) = 2

  1. Bedingung: x + 7 > 0, also x > −7.
  2. Aus der Definition: x + 7 = 2² = 4.
  3. x = −3. Das erfüllt die Bedingung (−3 > −7).

Lösung: x = −3.

Zwei gleiche Logarithmen

Sind zwei Logarithmen mit gleicher Basis gleich, dann sind auch die Argumente gleich: logₐ A = logₐ B bedeutet A = B.

Beispiel 2

log₃ (x² − 9) = log₃ (x + 3)

  1. Bedingung: x + 3 > 0 und x² − 9 > 0.
  2. x² − 9 = x + 3, also x² − x − 12 = 0.
  3. (x − 4)(x + 3) = 0, Kandidaten 4 und −3.
  4. Prüfen der Bedingung: Für x = −3 ist x + 3 = 0 — den Logarithmus von null gibt es nicht. Für x = 4 ist x + 3 = 7 > 0 und x² − 9 = 7 > 0.

Lösung: x = 4.

Summe und Differenz von Logarithmen

Zuerst fassen wir die Logarithmen mit den Gesetzen aus dem Artikel Logarithmusgesetze zusammen.

Beispiel 3

log₂ x + log₂ (x + 2) = 3

  1. Bedingung: x > 0 und x + 2 > 0, zusammen x > 0.
  2. Zusammenfassen: log₂ (x(x + 2)) = 3.
  3. Aus der Definition: x(x + 2) = 2³ = 8, also x² + 2x − 8 = 0.
  4. Kandidaten: x = 2 und x = −4.
  5. −4 erfüllt die Bedingung x > 0 nicht.

Lösung: x = 2.

Beispiel 4

log₂ (x − 4) − log₂ (x − 3) = 1

  1. Bedingung: x > 4.
  2. Zusammenfassen: log₂ ((x − 4)/(x − 3)) = 1, also (x − 4)/(x − 3) = 2.
  3. x − 4 = 2x − 6, x = 2.
  4. 2 erfüllt die Bedingung x > 4 nicht.

Die Gleichung hat keine Lösung. Auch das ist eine richtige Antwort.

Substitution

Kommen in der Gleichung ein Logarithmus und sein Quadrat vor, setzen wir t = logₐ x.

Beispiel 5

(log₂ x)² − 3 · log₂ x + 2 = 0

  1. Bedingung: x > 0.
  2. Substitution t = log₂ x: t² − 3t + 2 = 0, Lösungen t = 1 und t = 2.
  3. log₂ x = 1 ergibt x = 2, log₂ x = 2 ergibt x = 4.

Lösungen: x₁ = 2, x₂ = 4.

💡 Bei dieser Substitution darf t auch negativ sein — log₂ x = −1 ergibt x = ½. Anders als bei der Exponentialgleichung fällt hier nichts weg.

Häufige Fehler

  • Fehlende Bedingung. Ohne sie bleiben Zahlen im Ergebnis, für die das Argument negativ oder null wäre.
  • „Auseinanderziehen“ bei einer Summe. log (x + 2) ist nicht log x + log 2.
  • Zusammenfassen bei verschiedenen Basen. log₂ x + log₃ x lässt sich nicht mit einem einzigen Gesetz zusammenfassen.
  • Vergessene Antwort „keine Lösung“. Fallen alle Kandidaten weg, hat die Gleichung keine Lösung.

Kurz gesagt

  • Bedingung: Jedes Argument eines Logarithmus muss positiv sein.
  • logₐ A = c ⇒ A = aᶜ; logₐ A = logₐ B ⇒ A = B.
  • Summen und Differenzen von Logarithmen fasst du zuerst mit den Gesetzen zusammen.
  • Bei (logₐ x)² hilft die Substitution t = logₐ x.
  • Prüfe am Ende jede gefundene Zahl mit der Bedingung.

Probier es selbst

  1. log₃ (2x − 1) = 2
  2. log₅ (x + 1) + log₅ (x − 3) = 1
  3. log₂ (x + 1) − log₂ (x − 2) = 2
  4. (log₁₀ x)² − log₁₀ x = 0
Lösungen:
  1. 2x − 1 = 9, x = 5.
  2. (x + 1)(x − 3) = 5, x² − 2x − 8 = 0, Kandidaten 4 und −2. Bedingung x > 3, Lösung x = 4.
  3. x + 1 = 4(x − 2), x = 3. Bedingung x > 2, Lösung x = 3.
  4. t² − t = 0, t = 0 oder t = 1, also x = 1 oder x = 10.

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