Nimm ein Blatt Papier und falte es in der Mitte. Du hast 2 Lagen. Falte es noch einmal — 4 Lagen. Dann 8, 16, 32. Jedes Falten verdoppelt die Anzahl der Lagen. Nach x Faltungen hast du 2ˣ Lagen.
Dieses „immer wieder mit derselben Zahl multiplizieren“ beschreibt die Exponentialfunktion. Die Variable x steht hier nicht in der Basis, sondern im Exponenten — daher der Name.
Eine Exponentialfunktion hat den Term y = aˣ, wobei die Basis a eine positive Zahl ungleich 1 ist. Man liest „y gleich a hoch x“.
Inhalt
- Wertetabelle und Graph
- Warum die Basis positiv und ungleich 1 sein muss
- Eigenschaften der Exponentialfunktion
- Der verschobene Graph
- Häufige Fehler
- Kurz gesagt
- Probier es selbst
- Übe weiter
Wertetabelle und Graph
Berechnen wir die Werte von y = 2ˣ für einige ganze Zahlen x:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 2ˣ | ¼ | ½ | 1 | 2 | 4 | 8 |
Dir fallen zwei Dinge auf:
- Ein Schritt nach rechts (x um 1 größer) verdoppelt den Wert.
- Ein Schritt nach links halbiert den Wert. Der Wert kommt der Null immer näher, wird aber nie null: ½, ¼, ⅛, …
Zur Erinnerung: 2⁰ = 1, und ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert, zum Beispiel 2⁻² = 1/2² = ¼.
Auf dem Bild siehst du drei Exponentialfunktionen. Alle gehen durch den Punkt (0 | 1), denn jede positive Zahl hoch null ist 1.
- y = 3ˣ wächst schneller als y = 2ˣ: größere Basis, steilerer Graph.
- y = (½)ˣ ist das Spiegelbild von y = 2ˣ an der y-Achse. Bei einer Basis zwischen 0 und 1 ist die Funktion fallend.
Warum die Basis positiv und ungleich 1 sein muss
- Basis 1: 1ˣ = 1 für jedes x. Das ist eine konstante Funktion, daran ist nichts exponentiell.
- Negative Basis: (−2)^½ = √(−2) gibt es nicht. Die Funktion wäre für viele x nicht definiert.
- Basis 0: 0⁻¹ = 1/0 ergibt keinen Sinn.
Deshalb gilt immer a > 0 und a ≠ 1 (man liest „a ist größer als null und ungleich eins“).
Eigenschaften der Exponentialfunktion
| Eigenschaft | a > 1 (z. B. 2ˣ) | 0 < a < 1 (z. B. (½)ˣ) |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | alle reellen Zahlen ℝ | alle reellen Zahlen ℝ |
| Wertemenge | ℝ⁺ = ]0; ∞[, nur positive Zahlen | ℝ⁺ = ]0; ∞[, nur positive Zahlen |
| Monotonie | streng monoton steigend | streng monoton fallend |
| Punkt des Graphen | (0 | 1) | (0 | 1) |
| Asymptote | x-Achse, also y = 0 (links) | x-Achse, also y = 0 (rechts) |
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph immer weiter nähert, ohne sie je zu berühren. Bei y = 2ˣ ist das die x-Achse: Die Werte ½, ¼, ⅛ … kommen der Null immer näher, bleiben aber positiv.
💡 Die Funktion ist umkehrbar (eineindeutig) — jeden Wert nimmt sie nur einmal an. Deshalb hat sie eine Umkehrfunktion, den Logarithmus. Mehr dazu im Artikel Die Logarithmusfunktion.
Der verschobene Graph
Der Term y = a^(x − m) + n verschiebt den Graphen von y = aˣ:
- um m nach rechts (bei negativem m nach links),
- um n nach oben (bei negativem n nach unten).
Mit dem Graphen verschieben sich auch die Asymptote und der Punkt (0 | 1).
Beispiel
Skizziere den Graphen von y = 2^(x − 2) + 1.
- Die Asymptote verschiebt sich um 1 nach oben: y = 1.
- Der Punkt (0 | 1) verschiebt sich um 2 nach rechts und um 1 nach oben: (2 | 2). Dort ist der Exponent null: x − 2 = 0.
- Eine Einheit weiter rechts ist der Exponent 1: y = 2¹ + 1 = 3, also der Punkt (3 | 3).
- Die Basis 2 ist größer als 1, die Funktion steigt.
💡 Wie erkennt man den Term am Graphen? Suche die Asymptote (das ist n) und den Punkt, an dem der Graph genau 1 über der Asymptote liegt (seine x-Koordinate ist m). Lies eine Einheit weiter rechts ab, um welchen Faktor der Graph gewachsen ist (das ist a).