Du legst 1 000 € zu 5 % Zinsen pro Jahr bei der Bank an. Nach einem Jahr hast du 1 050 €. Im zweiten Jahr berechnet die Bank die 5 % aber schon von 1 050 €, nicht mehr von 1 000 €. Auch die Zinsen bringen Zinsen — der Betrag wächst immer schneller.
Das ist exponentielles Wachstum: In gleichen Zeitabschnitten wird eine Größe immer mit derselben Zahl multipliziert. Bei exponentieller Abnahme ist diese Zahl kleiner als 1.
Hat eine Größe am Anfang den Wert N₀ (man liest „N null“) und wird sie in jedem Zeitabschnitt mit der Zahl q multipliziert, dann hat sie nach n Zeitabschnitten den Wert
N = N₀ · qⁿ
Die Zahl q heißt Wachstumsfaktor:
Wachstum um p % pro Zeitabschnitt: q = 1 + p/100, zum Beispiel ergibt ein Wachstum um 5 % den Faktor q = 1,05,
Abnahme um p % pro Zeitabschnitt: q = 1 − p/100, zum Beispiel ergibt eine Abnahme um 15 % den Faktor q = 0,85,
Verdopplung: q = 2, Halbierung: q = ½.
Das ist eigentlich eine Exponentialfunktion, wie im Artikel Exponentialfunktionen — die Variable n steht im Exponenten.
Zinseszins
Beispiel 1
Wir legen 2 000 € zu einem Zinssatz von 3 % pro Jahr an. Die Zinsen werden einmal im Jahr gutgeschrieben. Wie viel Euro sind nach 4 Jahren auf dem Konto (Steuern lassen wir weg)?
Anfangskapital: N₀ = 2 000.
Wachstumsfaktor: q = 1 + 3/100 = 1,03.
Anzahl der Jahre: n = 4.
N = 2 000 · 1,03⁴ ≈ 2 000 · 1,1255 ≈ 2 251,02.
Nach 4 Jahren sind ungefähr 2 251 € auf dem Konto.
💡 Runde erst am Ende. Wenn du 1,03⁴ auf 1,13 rundest, kommen 2 260 € heraus — 9 € zu viel.
Abnahme um einen Prozentsatz
Beispiel 2
Ein Auto kostet 20 000 €. Jedes Jahr verliert es 15 % seines Werts vom Vorjahr. Welchen Wert hat es nach 3 Jahren?
Nach 3 Jahren ist das Auto noch etwa 12 283 € wert.
⚠️ Achtung: Nach 3 Jahren hat es nicht 3 · 15 % = 45 % verloren, sondern nur etwa 38,6 %, weil die 15 % jedes Jahr von einem kleineren Betrag berechnet werden.
Halbwertszeit
Radioaktive Stoffe zerfallen. Die Halbwertszeit T ist die Zeit, in der die Hälfte des Stoffes zerfällt. Nach einer Halbwertszeit ist noch ½ übrig, nach zwei ¼, nach drei ⅛.
Ist die Zeit t vergangen, dann sind t/T Halbwertszeiten vergangen, und deshalb gilt
m = m₀ · (½)^(t/T)
Beispiel 3
Ein Iod-Isotop hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Wir haben 640 g. Wie viel ist nach 24 Tagen noch übrig?
Anzahl der Halbwertszeiten: 24 / 8 = 3.
m = 640 · (½)³ = 640 / 8 = 80 g.
Die Formel funktioniert auch, wenn t/T keine ganze Zahl ist. Nach 12 Tagen sind noch 640 · (½)^1,5 ≈ 226,3 g übrig.
Wenn die Zeit oder der Prozentsatz gesucht ist
Nach wie vielen Jahren?
Nach wie vielen ganzen Jahren hat sich ein Guthaben bei 4 % Zinsen zum ersten Mal verdoppelt?
Gesucht ist 1,04ⁿ ≥ 2.
Die Unbekannte steht im Exponenten. Hier hilft der Logarithmus (mehr dazu im Artikel Der Logarithmus): n ≥ log 2 / log 1,04 ≈ 17,67.
Ganze Jahre: n = 18. Nach 17 Jahren ist das Guthaben noch nicht verdoppelt.
Um wie viel Prozent pro Jahr?
Eine Stadt hatte 40 000 Einwohner, 5 Jahre später 46 000. Wie groß war das gleichbleibende jährliche Wachstum?
40 000 · q⁵ = 46 000, also q⁵ = 1,15.
q ist die fünfte Wurzel aus 1,15: q ≈ 1,0284.
Das jährliche Wachstum beträgt etwa 2,8 %.
Häufige Fehler
Prozente addieren. 5 % Wachstum pro Jahr über 10 Jahre sind kein Wachstum um 50 %. Es ist 1,05¹⁰ ≈ 1,63, also ein Wachstum um etwa 63 %.
Falscher Faktor bei der Abnahme. Eine Abnahme um 20 % bedeutet Multiplizieren mit 0,8, nicht mit 0,2.
Runden während der Rechnung. Potenziere den Faktor genau und runde erst das Ergebnis.
Ganze Jahre. Kommt n ≈ 17,67 heraus und lautet die Frage „nach wie vielen ganzen Jahren“, dann ist die Antwort 18, nicht 17.
Kurz gesagt
Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme: N = N₀ · qⁿ.
Wachstum um p %: q = 1 + p/100. Abnahme um p %: q = 1 − p/100.
Halbwertszeit T: m = m₀ · (½)^(t/T).
Eine unbekannte Zeit findest du mit dem Logarithmus, einen unbekannten Faktor mit der Wurzel.
Probier es selbst
Es gibt 300 Bakterien, und ihre Anzahl verdoppelt sich jede Stunde. Wie viele sind es nach 5 Stunden?
Auf einem Konto liegen 5 000 € zu 2 % Zinsen pro Jahr. Wie viel ist nach 3 Jahren auf dem Konto? Runde auf ganze Euro.
Die Halbwertszeit eines Stoffes beträgt 10 Jahre. Welcher Anteil ist nach 30 Jahren noch übrig?
