Exponentialgleichungen

Wie oft musst du ein Blatt Papier falten, damit es 32 Lagen hat? Jedes Falten verdoppelt die Anzahl der Lagen, also suchen wir ein x mit 2ˣ = 32. Durch Ausprobieren: 2, 4, 8, 16, 32 — fünfmal. Also x = 5.

Eine Gleichung, in der die Unbekannte im Exponenten steht, heißt Exponentialgleichung. Wir zeigen dir, wie du sie ohne Ausprobieren löst.

Inhalt

Die Grundidee: gleiche Basis

Die Exponentialfunktion ist umkehrbar (eineindeutig): Zwei verschiedene x ergeben nie denselben Wert. Deshalb gilt:

Sind zwei Potenzen mit gleicher Basis gleich, dann sind auch die Exponenten gleich: aʳ = aˢ ⇒ r = s.

Den Pfeil ⇒ liest man „daraus folgt“.

Der Graph von y = 2ˣ und die waagerechte Gerade y = 8 schneiden sich an der Stelle x = 3

Auf dem Bild siehst du die Lösung der Gleichung 2ˣ = 8 als Schnittpunkt des Graphen von y = 2ˣ mit der Geraden y = 8. Sie schneiden sich bei x = 3.

Beispiel 1

3^(x − 1) = 27

  1. Schreibe 27 als Potenz von 3: 27 = 3³.
  2. 3^(x − 1) = 3³.
  3. Vergleiche die Exponenten: x − 1 = 3.
  4. x = 4.

Probe: 3^(4 − 1) = 3³ = 27 ✓.

Als Potenz mit gleicher Basis schreiben

Oft muss man die Basen erst angleichen. Dabei helfen diese Umformungen:

Zahl48927½¼√21
Als Potenz2²2³3²3³2⁻¹2⁻²2^½2⁰

Beispiel 2

4ˣ = 8

  1. 4 = 2² und 8 = 2³, also (2²)ˣ = 2³.
  2. Potenz einer Potenz: (2²)ˣ = 2^(2x).
  3. 2x = 3, also x = 3/2.

Beispiel 3

9^(x + 1) = 27ˣ

  1. 9 = 3², 27 = 3³: 3^(2(x + 1)) = 3^(3x).
  2. 2x + 2 = 3x.
  3. x = 2.

Beispiel 4

(½)ˣ = 16

  1. ½ = 2⁻¹ und 16 = 2⁴: 2^(−x) = 2⁴.
  2. −x = 4, also x = −4.

Ausklammern

Werden in der Gleichung Potenzen addiert, kann man die Exponenten nicht direkt vergleichen. Dann hilft es, eine gemeinsame Potenz auszuklammern.

Beispiel 5

2^(x + 1) + 2ˣ = 12

  1. 2^(x + 1) = 2 · 2ˣ, also 2 · 2ˣ + 2ˣ = 12.
  2. Klammere 2ˣ aus: 2ˣ · (2 + 1) = 12, also 3 · 2ˣ = 12.
  3. 2ˣ = 4 = 2², also x = 2.

Substitution

Manche Gleichungen sehen aus wie quadratische Gleichungen. Schau: 4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)². Setzen wir t = 2ˣ, wird aus der Gleichung eine quadratische Gleichung.

Beispiel 6

4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0

  1. Substitution t = 2ˣ: t² − 6t + 8 = 0.
  2. Lösungen: t₁ = 2, t₂ = 4.
  3. Rücksubstitution: 2ˣ = 2 ergibt x = 1, 2ˣ = 4 ergibt x = 2.

Lösungen: x₁ = 1, x₂ = 2.

Beispiel 7

4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0

  1. t² − 3t − 4 = 0, Lösungen t₁ = 4, t₂ = −1.
  2. 2ˣ = 4 ergibt x = 2.
  3. 2ˣ = −1 hat keine Lösung — eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv.

Lösung: x = 2.

Wenn sich die Basen nicht angleichen lassen

Die Gleichung 2ˣ = 5 kannst du nicht auf eine gleiche Basis bringen — 5 ist keine Potenz von 2. So eine Gleichung löst du mit dem Logarithmus: x = log₂ 5 ≈ 2,32. Mehr dazu im Artikel Der Logarithmus.

Häufige Fehler

  • Exponenten bei verschiedenen Basen vergleichen. Aus 4ˣ = 8 folgt weder x = 8 noch x = 2. Gleiche zuerst die Basen an.
  • Vergessene Klammer. 9^(x + 1) = 3^(2(x + 1)) = 3^(2x + 2), nicht 3^(2x + 1).
  • Exponenten bei einer Summe addieren. 2^(x + 1) + 2ˣ ist nicht 2^(2x + 1). Exponenten addiert man beim Multiplizieren, nicht beim Addieren.
  • Negatives t behalten. Bei der Substitution t = 2ˣ muss t positiv sein.

Kurz gesagt

  • Bei einer Exponentialgleichung steht die Unbekannte im Exponenten.
  • Schreibe beide Seiten als Potenz mit gleicher Basis und vergleiche die Exponenten.
  • Eine Summe von Potenzen löst du durch Ausklammern.
  • Eine Gleichung wie 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0 löst du mit der Substitution t = 2ˣ; negative t fallen weg.
  • Lassen sich die Basen nicht angleichen, hilft der Logarithmus.

Probier es selbst

  1. 5^(2x − 1) = 125
  2. 8ˣ = 4
  3. 3^(x + 2) − 3ˣ = 72
  4. 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0
Lösungen:
  1. 125 = 5³, 2x − 1 = 3, x = 2.
  2. 2^(3x) = 2², 3x = 2, x = 2/3.
  3. 3ˣ · (9 − 1) = 72, 3ˣ = 9, x = 2.
  4. t = 3ˣ: t² − 4t + 3 = 0, t = 1 oder t = 3, also x = 0 oder x = 1.

Übe weiter

👉 Weiter: Der Logarithmus