Der Logarithmus

Beim Falten des Papiers haben wir gefragt: Wie oft muss man das Blatt falten, damit es 32 Lagen hat? Anders gesagt: Mit welcher Zahl muss man 2 potenzieren, damit 32 herauskommt? Die Antwort ist 5, denn 2⁵ = 32.

Genau auf diese Frage antwortet der Logarithmus. Wir schreiben log₂ 32 = 5.

logₐ b = c bedeutet aᶜ = b.

Man liest „der Logarithmus von b zur Basis a ist c“.

Der Logarithmus ist also ein Exponent: die Zahl, mit der man die Basis a potenzieren muss, damit b herauskommt.

Inhalt

Wie man einen Logarithmus berechnet

So gehst du vor: Übersetze den Logarithmus in eine Frage nach einer Potenz.

LogarithmusFrageAntwort
log₂ 82 hoch wie viel ist 8?3, denn 2³ = 8
log₃ 813 hoch wie viel ist 81?4, denn 3⁴ = 81
log₁₀ 1 00010 hoch wie viel ist 1 000?3
log₅ 15 hoch wie viel ist 1?0, denn 5⁰ = 1
log₂ ⅛2 hoch wie viel ist ⅛?−3, denn 2⁻³ = ⅛

💡 Der Logarithmus eines Bruchs kleiner als 1 ist (bei einer Basis größer als 1) negativ. Der Bruch ⅛ ist 2⁻³.

Wann es einen Logarithmus gibt

  • Die Basis a muss positiv und ungleich 1 sein — genau wie bei der Exponentialfunktion.
  • Das Argument b muss positiv sein. Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv, deshalb gibt es weder log₂ (−4) noch log₂ 0.

logₐ b ist nur definiert, wenn a > 0, a ≠ 1 und b > 0 gilt.

Wichtige Werte

Für jede zulässige Basis a gilt:

  • logₐ 1 = 0, denn a⁰ = 1,
  • logₐ a = 1, denn a¹ = a,
  • logₐ aᵏ = k — der Logarithmus „hebt“ die Potenz auf,
  • a^(logₐ b) = b — die Potenz „hebt“ den Logarithmus auf.

Zum Beispiel ist 3^(log₃ 7) = 7 und 2^(3 + log₂ 5) = 2³ · 2^(log₂ 5) = 8 · 5 = 40.

Logarithmen mit Bruch als Ergebnis

Das Ergebnis muss keine ganze Zahl sein. Dann schreibst du die Basis und das Argument als Potenz derselben Zahl.

Beispiel 1

log₄ 8 = ?

  1. Gesucht ist y mit 4ʸ = 8.
  2. 4 = 2², 8 = 2³, also 2^(2y) = 2³.
  3. 2y = 3, also log₄ 8 = 3/2.

Beispiel 2

log₂ √2 = ?

Eine Wurzel ist eine Potenz mit dem Exponenten ½: √2 = 2^½. Deshalb ist log₂ √2 = ½.

Beispiel 3

Logarithmus von 9 zur Basis ⅓ = ?

  1. (⅓)ʸ = 9, also 3^(−y) = 3².
  2. −y = 2, y = −2.

Gleichungen direkt aus der Definition

Unbekanntes Argument

log₂ x = 5. Aus der Definition folgt x = 2⁵ = 32.

log₃ x = −2. Aus der Definition folgt x = 3⁻² = 1/9.

Unbekannte Basis

logₓ 16 = 2. Aus der Definition folgt x² = 16. Die Basis muss positiv sein, deshalb ist x = 4 (−4 kommt nicht infrage).

logₓ ⅛ = 3. Aus der Definition folgt x³ = ⅛, also x = ½.

Dekadischer Logarithmus und Taschenrechner

Den Logarithmus zur Basis 10 nennt man dekadischen Logarithmus. Die Basis lässt man oft weg: log 1 000 = log₁₀ 1 000 = 3. In vielen deutschen Schulbüchern schreibt man dafür auch lg, also lg 1 000 = 3. Auf dem Taschenrechner ist das die Taste log.

Einen Logarithmus, der nicht glatt aufgeht, berechnest du mit dem Taschenrechner. Für eine andere Basis als 10 nimmst du die Formel

logₐ b = log b / log a

Zum Beispiel ist log₂ 5 = log 5 / log 2 ≈ 0,699 / 0,301 ≈ 2,32. Warum die Formel gilt, siehst du im Artikel Logarithmusgesetze.

Häufige Fehler

  • Basis und Argument verwechseln. log₂ 8 heißt „2 hoch wie viel ist 8“, nicht „8 hoch wie viel ist 2“ (das wäre ⅓).
  • logₐ 1 = 1. Nein, logₐ 1 = 0, denn a⁰ = 1.
  • Logarithmus einer negativen Zahl oder von null. Gibt es nicht.
  • Negative Basis bei unbekannter Basis. Bei x² = 16 passt nur x = 4.

Kurz gesagt

  • logₐ b = c bedeutet aᶜ = b: Der Logarithmus ist ein Exponent.
  • Es muss a > 0, a ≠ 1, b > 0 gelten.
  • logₐ 1 = 0, logₐ a = 1, logₐ aᵏ = k, a^(logₐ b) = b.
  • Bei einem Bruch als Ergebnis schreibst du Basis und Argument als Potenz derselben Zahl.
  • log ohne Basis (oft auch lg) ist der dekadische Logarithmus (Basis 10).

Probier es selbst

  1. log₃ 27
  2. log₂ (1/16)
  3. log₉ 27
  4. log₅ x = 3
  5. logₓ 49 = 2
Lösungen:
  1. 3, denn 3³ = 27.
  2. −4, denn 2⁻⁴ = 1/16.
  3. 3/2, denn 9 = 3², 27 = 3³ und 2y = 3.
  4. x = 5³ = 125.
  5. x = 7.

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