Wie viel ist log₆ 4 + log₆ 9? Keiner der beiden Logarithmen geht glatt auf. Ihre Summe aber schon: 2. Warum? Weil 4 · 9 = 36 = 6² ist. Die Summe der Logarithmen ist der Logarithmus des Produkts.
Der Logarithmus ist ein Exponent und folgt deshalb denselben Regeln wie Exponenten. Aus der Regel „beim Multiplizieren von Potenzen werden die Exponenten addiert“ wird das Gesetz „der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen“.
Für positive Zahlen x, y und eine zulässige Basis a (a > 0, a ≠ 1) gilt:
Gesetz
Formel
Beispiel
Logarithmus eines Produkts
logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y
log₂ (4 · 8) = 2 + 3 = 5
Logarithmus eines Quotienten
logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y
log₃ (81 / 9) = 4 − 2 = 2
Logarithmus einer Potenz
logₐ (xᵏ) = k · logₐ x
log₂ (8⁵) = 5 · 3 = 15
In Worten: Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Exponent → Faktor vor dem Logarithmus.
Warum die Gesetze gelten
Setzen wir logₐ x = r und logₐ y = s. Nach der Definition ist x = aʳ und y = aˢ. Dann gilt
x · y = aʳ · aˢ = a^(r + s),
und deshalb logₐ (x · y) = r + s = logₐ x + logₐ y. Die Gesetze für den Quotienten und die Potenz leitet man genauso aus den Regeln aʳ : aˢ = a^(r − s) und (aʳ)ᵏ = a^(k·r) her.
Rechnen ohne Taschenrechner
Beispiel 1
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.
Beispiel 2
log₂ 40 − log₂ 5 = log₂ (40 / 5) = log₂ 8 = 3.
Beispiel 3
2 · log₃ 6 − log₃ 4
Bring die 2 in den Exponenten: 2 · log₃ 6 = log₃ 6² = log₃ 36.
log₃ 36 − log₃ 4 = log₃ (36 / 4) = log₃ 9.
log₃ 9 = 2.
Logarithmen zerlegen und zusammenfassen
In der Algebra rechnen wir mit Variablen. Für positive x, y, z gilt:
Zerlegen
logₐ (x² · y / z³) = 2 · logₐ x + logₐ y − 3 · logₐ z.
Der Zähler liefert Plus, der Nenner Minus, die Exponenten wandern vor den Logarithmus. Eine Wurzel ist eine Potenz mit dem Exponenten ½: logₐ √z = ½ · logₐ z.
Zu einem Logarithmus zusammenfassen
3 · logₐ x + logₐ y − 2 · logₐ z = logₐ (x³ · y / z²).
Hier gehst du umgekehrt vor: Die Zahlen vor den Logarithmen kommen in die Exponenten, Logarithmen mit Plus in den Zähler, Logarithmen mit Minus in den Nenner.
Basiswechsel
Der Taschenrechner kennt oft nur den dekadischen Logarithmus (log, Basis 10; in vielen Schulbüchern lg). Eine andere Basis rechnen wir mit dieser Formel um:
logₐ b = log b / log a
Beispiel 4
log₂ 3 · log₃ 8
Schreibe beide Logarithmen als dekadische: (log 3 / log 2) · (log 8 / log 3).
log 3 kürzt sich weg: log 8 / log 2 = log₂ 8.
log₂ 8 = 3.
💡 Aus der Formel folgt auch, dass zum Beispiel log₂ 5 · log₅ 2 = 1 ist.
Häufige Fehler
logₐ (x + y) = logₐ x + logₐ y. Nein! Das Gesetz gilt für ein Produkt, nicht für eine Summe. Zum Beispiel ist log₂ (4 + 4) = 3, aber log₂ 4 + log₂ 4 = 4.
logₐ x · logₐ y = logₐ (x · y). Nein, ein Produkt von Logarithmen lässt sich so nicht vereinfachen.
logₐ x / logₐ y = logₐ (x / y). Nein, ein Quotient von Logarithmen ist ein Basiswechsel — er ist der Logarithmus von x zur Basis y.
(logₐ x)² = 2 · logₐ x. Nein, den Exponenten darf man nur aus dem Argument ziehen: logₐ (x²) = 2 · logₐ x.
Kurz gesagt
logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y.
logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y.
logₐ (xᵏ) = k · logₐ x.
logₐ b = log b / log a (Basiswechsel).
Die Gesetze gelten nicht für den Logarithmus einer Summe und nicht für ein Produkt von Logarithmen.