Die Logarithmusfunktion

Die Exponentialfunktion y = 2ˣ macht aus der Zahl 3 die Zahl 8. Was, wenn wir den umgekehrten Weg gehen wollen — von 8 zurück zu 3? Wir brauchen eine Funktion, die antwortet: „Mit welcher Zahl muss man 2 potenzieren, damit 8 herauskommt?“ Das ist der Logarithmus: log₂ 8 = 3.

Die Funktion y = logₐ x heißt Logarithmusfunktion. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = aˣ — sie macht genau das Gegenteil.

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Inhalt

• Der Graph als Spiegelbild
• Eigenschaften der Logarithmusfunktion
• Basis über und unter 1
• Der verschobene Graph
• Umkehrfunktion einer verschobenen Exponentialfunktion
• Häufige Fehler
• Kurz gesagt
• Probier es selbst
• Übe weiter

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Der Graph als Spiegelbild

Die Umkehrfunktion vertauscht Eingabe und Ausgabe. Der Punkt (3 | 8) liegt auf dem Graphen von y = 2ˣ, deshalb liegt der Punkt (8 | 3) auf dem Graphen von y = log₂ x. Genauso gilt (0 | 1) ↔ (1 | 0) und (1 | 2) ↔ (2 | 1).

Das Vertauschen der Koordinaten ist eine Spiegelung an der Geraden y = x.

Die Graphen von y = aˣ und y = logₐ x sind symmetrisch zur Geraden y = x.

Mehr über Umkehrfunktionen im Artikel Umkehrbare Funktionen und Umkehrfunktion.

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Eigenschaften der Logarithmusfunktion

Beim Vertauschen von x und y vertauschen sich auch die Mengen:

• Die Definitionsmenge sind nur die positiven Zahlen: Weder log₂ 0 noch log₂ (−4) gibt es.
• Die Wertemenge sind alle reellen Zahlen. Ein Logarithmus kann auch negativ sein: log₂ ½ = −1.
• Der Graph geht immer durch den Punkt (1 | 0), weil logₐ 1 = 0 ist, und durch den Punkt (a | 1), weil logₐ a = 1 ist.
• Die Asymptote ist die y-Achse: Wenn x sich der Null nähert, fällt (oder steigt) der Logarithmus unbegrenzt.

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Basis über und unter 1

• Für a > 1 ist die Logarithmusfunktion steigend (zum Beispiel log₂ x: 1 → 0, 2 → 1, 4 → 2, 8 → 3). Sie steigt aber sehr langsam.
• Für 0 < a < 1 ist sie fallend (zum Beispiel der Logarithmus zur Basis ½: 2 → −1, 4 → −2).

Die Graphen von log₂ x und dem Logarithmus zur Basis ½ sind symmetrisch zur x-Achse.

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Der verschobene Graph

Wie bei anderen Funktionen gilt:

• y = logₐ (x − m) ist der Graph um m nach rechts verschoben, die senkrechte Asymptote ist x = m,
• y = logₐ x + n ist der Graph um n nach oben verschoben.

Beispiel 1

y = log₂ (x − 1) + 2

1. Asymptote: x = 1. Definitionsmenge: x > 1.
2. Der Punkt (1 | 0) wandert nach (2 | 2) — dort ist das Argument x − 1 = 1.
3. Die Basis 2 > 1, die Funktion steigt.

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Umkehrfunktion einer verschobenen Exponentialfunktion

Du gehst vor wie bei jeder Umkehrfunktion: x und y vertauschen und nach y auflösen.

Beispiel 2

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = 2ˣ + 1.

1. y = 2ˣ + 1.
2. Vertauschen: x = 2ʸ + 1.
3. 2ʸ = x − 1, also y = log₂ (x − 1).

Ergebnis: f⁻¹(x) = log₂ (x − 1).

Probe mit den Mengen: f nimmt Werte größer als 1 an, deshalb ist die Definitionsmenge von f⁻¹ gleich x > 1. Passt — der Logarithmus von x − 1 verlangt x > 1.

💡 Allgemein gilt: Die Umkehrfunktion von y = a^(x − m) + n ist y = logₐ (x − n) + m. Die Verschiebungen tauschen die Plätze, genau wie die Koordinaten.

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Häufige Fehler

• „log₂ x ist für alle x definiert.“ Nein, nur für x > 0.
• Asymptoten verwechseln. Die Exponentialfunktion hat eine waagerechte Asymptote (x-Achse), der Logarithmus eine senkrechte (y-Achse).
• Falsche Verschiebung bei der Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion von y = 2ˣ + 1 ist nicht y = log₂ x − 1, sondern y = log₂ (x − 1).
• Spiegelung an einer Achse. Die Graphen von aˣ und logₐ x sind symmetrisch zur Geraden y = x, nicht zur y-Achse.

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Kurz gesagt

• y = logₐ x ist die Umkehrfunktion von y = aˣ.
• Definitionsmenge ℝ⁺ = ]0; ∞[, Wertemenge ℝ, Punkt (1 | 0), Asymptote x = 0.
• Für a > 1 steigt sie, für 0 < a < 1 fällt sie.
• Der Graph ist das Spiegelbild des Graphen von aˣ an der Geraden y = x.
• Die Umkehrfunktion von y = a^(x − m) + n ist y = logₐ (x − n) + m.

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Probier es selbst

1. Welche Definitionsmenge hat y = log₃ (x + 2)?
2. Durch welchen Punkt geht der Graph von y = log₅ x, wenn y = 1 ist?
3. Der Punkt (2 | 9) liegt auf dem Graphen von y = 3ˣ. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von y = log₃ x?
4. Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = 3^(x − 2).

Lösungen:

1. x + 2 > 0, also x > −2.
2. (5 | 1).
3. (9 | 2).
4. x = 3^(y − 2), y − 2 = log₃ x, f⁻¹(x) = log₃ x + 2.

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Übe weiter

• 📊 Logarithmusfunktion und Graph der Umkehrfunktion
• 📊 Graph und Eigenschaften der Exponentialfunktion

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