Logarithmusfunktion und Graph der Umkehrfunktion
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Die Logarithmusfunktion y = log₂ x ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = 2ˣ. Die Exponentialfunktion bildet 3 auf 8 ab, der Logarithmus bildet 8 wieder auf 3 ab. Deshalb werden die Koordinaten der Punkte und auch Definitions- und Wertemenge vertauscht: Der Logarithmus ist nur für positive x definiert, nimmt aber alle reellen Werte an. Der Graph geht durch den Punkt (1 | 0).
Was macht dieser Generator?
Auf der leichten Stufe bestimmst du Eigenschaften der Funktion y = logₐ x: Definitionsmenge, Wertemenge, Monotonie, einen Punkt des Graphen und die Asymptote. Auf der mittleren Stufe ordnest du die Gleichung einem verschobenen Logarithmusgraphen zu. Auf der schweren Stufe suchst du die Umkehrfunktion von y = a^(x − m) + n, einen Punkt des Graphen von f⁻¹ und ihre Definitionsmenge.
So funktioniert es
1) Der Graph von y = logₐ x geht durch den Punkt (1 | 0); für a > 1 steigt er, für 0 < a < 1 fällt er. 2) Die senkrechte Asymptote ist x = m — um so viel ist der Graph nach rechts verschoben. 3) Die Umkehrfunktion findest du durch Vertauschen von x und y: Aus y = 2ˣ + 1 wird x = 2ʸ + 1, also y = log₂ (x − 1). 4) Die Definitionsmenge von f⁻¹ ist die Wertemenge von f.