Zahradník chce obdélníkový záhon s obsahem 96 m², přičemž jedna strana má být o 4 m delší než druhá. Jaké rozměry má záhon? Když kratší stranu označíme x, delší je x + 4 a obsah je x · (x + 4) = 96. Neznámá se tu násobí sama sebou — vznikla kvadratická rovnice.
Kvadratická rovnice má často dva kořeny, ale úloha může mít jen jedno rozumné řešení. Ukážeme si, jak to rozlišit.
Označ neznámou. Napiš slovy, co znamená x (například „x je kratší strana v metrech“).
Vyjádři ostatní veličiny pomocí x.
Sestav rovnici podle textu a uprav ji na tvar ax² + bx + c = 0.
Vyřeš ji — vzorcem nebo rozkladem.
Zkontroluj kořeny. Záporná délka, záporný počet lidí či záporná rychlost nedávají smysl — takový kořen vyřaď. Potom odpověz celou větou.
Obdélník
Řešený příklad 1
Záhon má obsah 96 m² a jedna strana je o 4 m delší než druhá.
x = kratší strana (m), x + 4 = delší strana.
x(x + 4) = 96, tedy x² + 4x − 96 = 0.
D = 16 + 384 = 400, x = (−4 ± 20) / 2, tedy x = 8 nebo x = −12.
−12 nevyhovuje — délka nemůže být záporná.
Odpověď: záhon má rozměry 8 m a 12 m. Zkouška: 8 · 12 = 96 ✓.
Po sobě jdoucí čísla
Řešený příklad 2
Součin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je 156. Která jsou to čísla?
n = menší číslo, n + 1 = větší.
n(n + 1) = 156, tedy n² + n − 156 = 0.
D = 1 + 624 = 625, n = (−1 ± 25) / 2, tedy n = 12 nebo n = −13.
−13 není přirozené číslo.
Odpověď: čísla jsou 12 a 13.
Turnaj — každý s každým
Když hraje n týmů každý s každým jednou, každý tým odehraje n − 1 zápasů. Součin n(n − 1) však započítá každý zápas dvakrát (jednou za každý ze dvou týmů), proto je zápasů n(n − 1) / 2.
Řešený příklad 3
Na turnaji se odehrálo 28 zápasů. Kolik týmů hrálo?
n(n − 1) / 2 = 28, tedy n² − n − 56 = 0.
D = 1 + 224 = 225, n = (1 ± 15) / 2, tedy n = 8 nebo n = −7.
Odpověď: hrálo 8 týmů.
💡 Podobně mnohoúhelník s n vrcholy má n(n − 3) / 2 úhlopříček: z každého vrcholu vede n − 3 úhlopříček a každou jsme započítali dvakrát.
Pravoúhlý trojúhelník
Řešený příklad 4
Odvěsny pravoúhlého trojúhelníku se liší o 7 cm, přepona měří 13 cm. Jak dlouhé jsou odvěsny?
x = kratší odvěsna, x + 7 = delší odvěsna.
Pythagorova věta: x² + (x + 7)² = 13².
x² + x² + 14x + 49 = 169, tedy 2x² + 14x − 120 = 0, po vydělení dvěma x² + 7x − 60 = 0.
D = 49 + 240 = 289, x = (−7 ± 17) / 2, tedy x = 5 nebo x = −12.
Odpověď: odvěsny měří 5 cm a 12 cm. Zkouška: 25 + 144 = 169 ✓.
Rychlost a čas
Doba jízdy je dráha dělená rychlostí: t = s / v.
Řešený příklad 5
Cyklista ujel 60 km. Kdyby jel o 5 km/h rychleji, byl by v cíli o hodinu dřív. Jakou rychlostí jel?
v = jeho rychlost (km/h). Skutečná doba je 60/v, rychlejší doba 60/(v + 5).
