Diskriminant a vzorec pro kořeny kvadratické rovnice

Rovnici x² − 9 = 0 vyřešíš odmocněním, rovnici x² − 5x = 0 vytknutím x. Ale co s rovnicí x² − 2x − 15 = 0? Jsou v ní všechny tři členy a ani jeden trik nefunguje.

Na takovou úplnou kvadratickou rovnici existuje vzorec, který funguje vždy. Ukážeme si ho krok za krokem.

Diskriminant

Rovnici nejdřív uprav na tvar ax² + bx + c = 0 a vypiš koeficienty i se znaménky. Pro x² − 2x − 15 = 0 je a = 1, b = −2, c = −15.

Potom vypočítej diskriminant:

D = b^{2} - 4 a c

Pro naši rovnici: D = (−2)² − 4 · 1 · (−15) = 4 + 60 = 64.

Slovo diskriminant znamená „rozlišovač“ — podle něj rozlišíme, kolik řešení rovnice má.

Vzorec pro kořeny

Když D není záporný, kořeny vypočítáš vzorcem

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Znak ± znamená, že počítáš dvakrát: jednou s plusem (x₁), jednou s minusem (x₂).

Pro x² − 2x − 15 = 0: √D = √64 = 8, proto

x₁ = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5,
x₂ = (2 − 8) / 2 = −6 / 2 = −3.

Zkouška: 5² − 2 · 5 − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 ✓.

Tři možnosti podle diskriminantu

Diskriminant	Počet řešení	Proč
D > 0	dvě různá řešení	√D je kladné číslo, + a − dají dvě různé hodnoty
D = 0	jedno (dvojnásobné) řešení	√0 = 0, obě hodnoty splynou: x = −b / 2a
D < 0	žádné reálné řešení	odmocnina ze záporného čísla v ℝ neexistuje

Na obrázku jsou grafy tří funkcí y = x² − 2x + c. Kořeny rovnice jsou místa, kde graf protíná osu x. Oranžová parabola ji protíná dvakrát, černá se jí jen dotkne a přerušovaná ji neprotne vůbec.

Tři paraboly: oranžová protíná osu x v bodech −1 a 3, plná černá se dotýká osy x v bodě 1, přerušovaná leží celá nad osou x

Řešené příklady

Řešený příklad 1 — zlomkové kořeny

2x² − x − 3 = 0

a = 2, b = −1, c = −3.
D = (−1)² − 4 · 2 · (−3) = 1 + 24 = 25, √D = 5.
x₁ = (1 + 5) / 4 = 6/4 = 3/2, x₂ = (1 − 5) / 4 = −4/4 = −1.

Zkouška pro x = −1: 2 · 1 + 1 − 3 = 0 ✓.

Řešený příklad 2 — jeden kořen

x² − 6x + 9 = 0

D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
x = 6 / 2 = 3.

Levá strana je vlastně (x − 3)², proto je jediným řešením x = 3.

Řešený příklad 3 — bez řešení

x² + 2x + 5 = 0

D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16.
D < 0, rovnice nemá řešení v ℝ.

💡 Když je a záporné, například −x² + 4x − 3 = 0, celou rovnici nejdřív vynásob číslem −1: x² − 4x + 3 = 0. Řešení se nezmění (x = 1 a x = 3) a počítá se snáz.

Kořeny s odmocninou

Když D není druhou mocninou celého čísla, odmocnina „nevyjde“. Kořeny pak zapíšeme s odmocninou a odmocninu částečně odmocníme: z čísla pod odmocninou vytáhneme největší druhou mocninu.

Řešený příklad 4

x² − 4x + 1 = 0

D = (−4)² − 4 · 1 · 1 = 16 − 4 = 12.
√12 = √(4 · 3) = 2√3.
x = (4 ± 2√3) / 2.
Vyděl dvěma oba členy čitatele: x = 2 ± √3.

Kořeny jsou x₁ = 2 + √3, x₂ = 2 − √3 (přibližně 3,73 a 0,27).

Řešený příklad 5

x² + 2x − 7 = 0

D = 2² − 4 · 1 · (−7) = 4 + 28 = 32.
√32 = √(16 · 2) = 4√2.
x = (−2 ± 4√2) / 2 = −1 ± 2√2.

Nejčastější chyby

Znaménko u −b. Když b = −2, pak −b = 2. Do vzorce dosazuješ opačné číslo, než je b.
Druhá mocnina záporného b. (−6)² = 36, ne −36. Záporné b vždy dej do závorky.
Dělení jen části čitatele. (4 ± 2√3) / 2 je 2 ± √3, ne 2 ± 2√3 ani 4 ± √3.
Zapomenuté částečné odmocnění. Výsledek (4 ± √12) / 2 není dokončený — √12 = 2√3, proto x = 2 ± √3.
Rovnice není v tvaru = 0. U x² = 2x + 15 nejdřív převeď všechno doleva: x² − 2x − 15 = 0.

Ve zkratce

Uprav rovnici na tvar ax² + bx + c = 0 a vypiš a, b, c se znaménky.
Diskriminant: D = b² − 4ac.
D > 0: dvě řešení, D = 0: jedno, D < 0: žádné.
Kořeny: x = (−b ± √D) / 2a.
Odmocninu částečně odmocni a zlomek zkrať.

Zkus si sám

x² + x − 12 = 0
3x² − 5x − 2 = 0
x² − 10x + 25 = 0
x² − 2x − 2 = 0
2x² + 3x + 4 = 0

Řešení:

D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7) / 2, tedy x = 3 nebo x = −4.
D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7) / 6, tedy x = 2 nebo x = −1/3.
D = 100 − 100 = 0, x = 10 / 2 = 5.
D = 4 + 8 = 12, x = (2 ± 2√3) / 2 = 1 ± √3.
D = 9 − 32 = −23 < 0, rovnice nemá řešení.

Procvič si

👉 Zpět: Neúplné kvadratické rovnice · Dále: Počet řešení a rovnice s parametrem