Neúplné kvadratické rovnice

Čtvercový pokoj má podlahu s obsahem 16 m². Jak dlouhá je jeho stěna? Když délku stěny označíme x, platí x² = 16. Které číslo dá po umocnění 16? Číslo 4 — ale také −4, protože (−4)² = 16. U stěny má smysl jen 4 m, samotná rovnice má ale dvě řešení.

Rovnice, ve které je neznámá na druhou, je kvadratická rovnice. V tomto článku řešíme ty nejjednodušší — neúplné. Není na ně potřeba žádný vzorec.

Co je kvadratická rovnice

Každou kvadratickou rovnici lze upravit na tvar

ax² + bx + c = 0, kde a ≠ 0.

Čísla a, b, c jsou koeficienty:

a je číslo u x² (kvadratický člen),
b je číslo u x (lineární člen),
c je číslo bez x (absolutní člen).

Například v rovnici 2x² − 3x + 1 = 0 je a = 2, b = −3, c = 1.

Rovnice je neúplná, když b = 0 nebo c = 0 — tedy když v ní chybí člen s x nebo číslo bez x. Číslo a chybět nesmí, jinak by rovnice nebyla kvadratická.

Rovnice bez členu s x

Rovnice typu ax² + c = 0 (b = 0) se nazývá také ryze kvadratická. Postup:

Osamostatni x² na jedné straně.
Odmocni. Nezapomeň, že řešení jsou dvě: kladné i záporné. Zapisujeme to znakem ± („plus minus“).

Řešený příklad 1

x² − 16 = 0

x² = 16
x = ±4, tedy x₁ = 4, x₂ = −4.

Zkouška: 4² − 16 = 0 ✓, (−4)² − 16 = 16 − 16 = 0 ✓.

Řešený příklad 2

3x² − 75 = 0

3x² = 75
x² = 25 (obě strany jsme vydělili třemi)
x₁ = 5, x₂ = −5

Řešený příklad 3

4x² − 9 = 0

4x² = 9
x² = 9/4
x = ±3/2, tedy x₁ = 3/2, x₂ = −3/2.

Řešený příklad 4

x² + 4 = 0

x² = −4
Druhá mocnina reálného čísla není nikdy záporná: kladné číslo na druhou je kladné, záporné také, nula dá nulu.

Rovnice nemá řešení v reálných číslech.

💡 Když vyjde x² = 7, řešení jsou x = ±√7. Odmocnina z čísla, které není druhou mocninou, je také řešení — jen ho nezapíšeme celým číslem.

Rovnice bez čísla bez x

Rovnice typu ax² + bx = 0 (c = 0) má x v obou členech. Vytkneme ho před závorku:

x · (ax + b) = 0

Součin je nula právě tehdy, když je nula alespoň jeden činitel. Proto buď x = 0, nebo ax + b = 0.

Řešený příklad 5

x² − 5x = 0

x · (x − 5) = 0
x = 0 nebo x − 5 = 0
x₁ = 0, x₂ = 5

Zkouška: 5² − 5 · 5 = 25 − 25 = 0 ✓.

Řešený příklad 6

2x² + 3x = 0

x · (2x + 3) = 0
x = 0 nebo 2x + 3 = 0, tedy 2x = −3
x₁ = 0, x₂ = −3/2

⚠️ Rovnici x² − 5x = 0 neděl číslem x! Dostal bys x − 5 = 0 a ztratil bys řešení x = 0. Dělit se nesmí nulou — a x nulou být může.

Rovnice, které je třeba nejdřív upravit

Někdy rovnice jako neúplná nevypadá, ale po úpravě jí je.

Řešený příklad 7

(x − 3)² = 16

Výraz v závorce dává po umocnění 16, proto se rovná 4 nebo −4:

x − 3 = 4, tedy x = 7,
x − 3 = −4, tedy x = −1.

Řešení: x₁ = −1, x₂ = 7. Zkouška: (7 − 3)² = 4² = 16 ✓, (−1 − 3)² = (−4)² = 16 ✓.

Řešený příklad 8

x · (x − 4) = 2x

Roznásob: x² − 4x = 2x.
Převeď všechno na levou stranu: x² − 6x = 0.
Vytkni x: x · (x − 6) = 0.
x₁ = 0, x₂ = 6.

Zkouška pro x = 6: levá strana 6 · 2 = 12, pravá strana 2 · 6 = 12 ✓.

Nejčastější chyby

Zapomenuté ±. Z x² = 25 plyne x = 5 i x = −5, ne jen x = 5.
Dělení neznámou. Z x² = 5x neplyne jen x = 5. Správně je x² − 5x = 0, x(x − 5) = 0, tedy x = 0 nebo x = 5.
Záporné číslo pod odmocninou. Z x² = −4 neplyne x = −2, protože (−2)² = 4. Rovnice nemá řešení.
Špatná úprava před odmocněním. U 3x² = 75 nejdřív vyděl třemi (x² = 25), teprve potom odmocni.

Ve zkratce

Kvadratická rovnice má tvar ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.
Když chybí člen s x (ax² + c = 0): osamostatni x² a odmocni, řešení jsou ±.
Když x² vyjde záporné, rovnice nemá řešení.
Když chybí číslo bez x (ax² + bx = 0): vytkni x před závorku, jedno řešení je vždy 0.
Neznámou nikdy neděl.

Zkus si sám

x² − 49 = 0
5x² − 20 = 0
3x² − 12x = 0
9x² − 4 = 0
(x + 1)² = 25
2x² + 18 = 0

Řešení:

x² = 49, x = ±7.
x² = 4, x = ±2.
3x(x − 4) = 0, x = 0 nebo x = 4.
x² = 4/9, x = ±2/3.
x + 1 = ±5, x = 4 nebo x = −6.
x² = −9, rovnice nemá řešení.

Procvič si

✏️ Neúplné kvadratické rovnice
🧮 Kvadratická rovnice — diskriminant a vzorec

👉 Dále: Diskriminant a vzorec pro kořeny