Rozklad kvadratického trojčlenu na kořenové činitele

Rozklad kvadratického trojčlenu na kořenové činitele

Roznásob (x − 2)(x − 3): x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. A teď naopak: trojčlen x² − 5x + 6 lze zapsat jako součin (x − 2)(x − 3). Všimni si, že čísla 2 a 3 jsou přesně kořeny rovnice x² − 5x + 6 = 0.

To není náhoda. Když znáš kořeny, trojčlen rozložíš na součin — a naopak, ze součinu hned vidíš kořeny.

Obsah

Pravidlo rozkladu

Když má rovnice ax² + bx + c = 0 kořeny x₁ a x₂, pak

ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)

Výrazy (x − x₁) a (x − x₂) se nazývají kořenové činitele. Číslo a před závorkami nesmíš vynechat.

Proč to platí? Součin a(x − x₁)(x − x₂) je nulový právě pro x = x₁ a x = x₂ a u x² má číslo a. Trojčlen se stejnými kořeny a stejným a je tentýž trojčlen.

Řešené příklady

Řešený příklad 1

Rozlož x² + x − 12.

  1. Kořeny rovnice x² + x − 12 = 0: D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7) / 2, tedy x₁ = 3, x₂ = −4.
  2. a = 1, proto x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4).

Pozor na znaménko: kořen −4 dává činitel x − (−4) = x + 4.

Zkouška: (x − 3)(x + 4) = x² + 4x − 3x − 12 = x² + x − 12 ✓.

Řešený příklad 2 — číslo a před závorkou

Rozlož 2x² − 2x − 12.

  1. Kořeny: D = 4 + 96 = 100, x = (2 ± 10) / 4, tedy x₁ = 3, x₂ = −2.
  2. a = 2, proto 2x² − 2x − 12 = 2(x − 3)(x + 2).

Řešený příklad 3 — zlomkový kořen

Rozlož 3x² + 4x + 1.

  1. D = 16 − 12 = 4, x = (−4 ± 2) / 6, tedy x₁ = −1/3, x₂ = −1.
  2. 3x² + 4x + 1 = 3(x + 1/3)(x + 1).
  3. Trojku „vneseme“ do první závorky: 3(x + 1/3) = 3x + 1. Výsledek: (3x + 1)(x + 1).

Zkouška: (3x + 1)(x + 1) = 3x² + 3x + x + 1 = 3x² + 4x + 1 ✓.

Řešený příklad 4 — dvojnásobný kořen

x² − 6x + 9 má jediný kořen 3 (D = 0), proto x² − 6x + 9 = (x − 3)(x − 3) = (x − 3)².

Když trojčlen rozložit nejde

Když je D < 0, rovnice nemá reálné kořeny a trojčlen na součin lineárních činitelů s reálnými čísly rozložit nejde. Například x² + x + 1 (D = 1 − 4 = −3).

Sestavení rovnice z kořenů

Pravidlo funguje i obráceně: když znáš kořeny, rovnici sestavíš roznásobením.

Řešený příklad 5

Sestav rovnici s kořeny 2 a −5 (a = 1).

(x − 2)(x + 5) = x² + 5x − 2x − 10, tedy x² + 3x − 10 = 0.

Řešený příklad 6

Sestav rovnici s kořeny 1/2 a 3 a s a = 2.

2(x − 1/2)(x − 3) = (2x − 1)(x − 3) = 2x² − 6x − x + 3, tedy 2x² − 7x + 3 = 0.

Řešený příklad 7 — kořeny s odmocninou

Sestav rovnici s kořeny 2 + √3 a 2 − √3 (a = 1).

(x − 2 − √3)(x − 2 + √3) = (x − 2)² − (√3)² = x² − 4x + 4 − 3, tedy x² − 4x + 1 = 0.

Použili jsme vzorec (A − B)(A + B) = A² − B² s A = x − 2 a B = √3.

K čemu je rozklad dobrý

  • Krácení zlomků. (x² − 5x + 6) / (x − 2) = (x − 2)(x − 3) / (x − 2) = x − 3 pro x ≠ 2.
  • Rychlé čtení kořenů. Z tvaru 2(x − 3)(x + 2) = 0 hned vidíš řešení 3 a −2.
  • Kvadratické nerovnice. Znaménko součinu se určuje snáz než znaménko trojčlenu.

Nejčastější chyby

  • Vynechané a. 2x² − 2x − 12 není (x − 3)(x + 2) — to je jen x² − x − 6.
  • Znaménka. Kořen −4 dává (x + 4), ne (x − 4).
  • Zlomek v závorce. 3(x + 1/3) = 3x + 1, ne 3x + 3.
  • Rozklad při D < 0. Když rovnice nemá reálné kořeny, reálný rozklad na kořenové činitele neexistuje.

Ve zkratce

  • Když má trojčlen kořeny x₁, x₂, platí ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
  • Kořeny najdeš vzorcem (nebo uhodneš ze součtu a součinu).
  • Kořen −k dává činitel (x + k).
  • U dvojnásobného kořene je rozklad a(x − x₁)².
  • Rovnici z kořenů sestavíš roznásobením a(x − x₁)(x − x₂).

Zkus si sám

  1. Rozlož x² − 7x + 10.
  2. Rozlož x² + 2x − 15.
  3. Rozlož 2x² + 5x − 3.
  4. Sestav rovnici s kořeny −1 a 4 (a = 1).
  5. Sestav rovnici s kořeny 1 + √2 a 1 − √2 (a = 1).
Řešení:
  1. Kořeny 2 a 5: (x − 2)(x − 5).
  2. Kořeny 3 a −5: (x − 3)(x + 5).
  3. D = 25 + 24 = 49, kořeny 1/2 a −3: 2(x − 1/2)(x + 3) = (2x − 1)(x + 3).
  4. (x + 1)(x − 4) = x² − 3x − 4, rovnice x² − 3x − 4 = 0.
  5. (x − 1)² − 2 = x² − 2x − 1, rovnice x² − 2x − 1 = 0.

Procvič si

👉 Zpět: Počet řešení a rovnice s parametrem · Dále: Viètovy vzorce