Viètovy vzorce — vztahy mezi kořeny a koeficienty

Viètovy vzorce — vztahy mezi kořeny a koeficienty

Roznásob (x − 2)(x − 5) = x² − 7x + 10. Podívej se na čísla: −7 je opačné číslo k součtu 2 + 5 a 10 je součin 2 · 5. Kořeny a koeficienty rovnice spolu souvisejí — a tuto souvislost objevil francouzský matematik François Viète (čti „vijét“) už v 16. století.

Díky ní znáš součet a součin kořenů dřív, než rovnici vyřešíš.

Obsah

Vzorce

Když má rovnice ax² + bx + c = 0 kořeny x₁ a x₂, pak

Pro rovnici s a = 1, tedy x² + bx + c = 0, je to ještě jednodušší:

  • součet kořenů je −b (opačné číslo k b),
  • součin kořenů je c.

Řešený příklad 1

2x² − 7x + 3 = 0

  • Součet: x₁ + x₂ = −(−7)/2 = 7/2.
  • Součin: x₁ · x₂ = 3/2.

Kontrola: kořeny jsou 3 a 1/2 (D = 49 − 24 = 25, x = (7 ± 5) / 4). Opravdu 3 + 1/2 = 7/2 a 3 · 1/2 = 3/2 ✓.

Proč platí

Kořeny jsou x₁ = (−b + √D) / 2a a x₂ = (−b − √D) / 2a.

  • Při sčítání se √D vyruší: x₁ + x₂ = −2b / 2a = −b/a.
  • Při násobení použijeme (A + B)(A − B) = A² − B²: x₁ · x₂ = (b² − D) / 4a². Protože D = b² − 4ac, je b² − D = 4ac, a proto x₁ · x₂ = 4ac / 4a² = c/a.

Hádání kořenů

U rovnice x² + bx + c = 0 s celočíselnými kořeny hledáme dvě čísla, jejichž součin je c a součet je −b.

Řešený příklad 2

x² − 7x + 12 = 0

Hledáme čísla se součinem 12 a součtem 7. Dvojice se součinem 12: 1 a 12, 2 a 6, 3 a 4. Součet 7 má jen dvojice 3 a 4.

Kořeny: x₁ = 3, x₂ = 4.

Řešený příklad 3

x² + 2x − 15 = 0

Součin −15 (čísla mají opačná znaménka), součet −2. Vyhovuje 3 a −5: 3 · (−5) = −15, 3 + (−5) = −2.

Kořeny: x₁ = 3, x₂ = −5.

Druhý kořen z prvního

Řešený příklad 4

Rovnice x² − 3x + c = 0 má kořen x₁ = 5. Najdi druhý kořen a číslo c.

  1. Součet kořenů je −b = 3, proto x₂ = 3 − 5 = −2.
  2. c je součin kořenů: c = 5 · (−2) = −10.

Zkouška: 5² − 3 · 5 − 10 = 25 − 15 − 10 = 0 ✓.

Výrazy s kořeny bez jejich výpočtu

Někdy jsou kořeny ošklivé (s odmocninou), ale výraz z nich vyjde hezky. Stačí ho přepsat pomocí součtu s = x₁ + x₂ a součinu p = x₁ · x₂:

VýrazPřepis
x₁² + x₂²(x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = s² − 2p
1/x₁ + 1/x₂(x₁ + x₂) / (x₁x₂) = s / p
(x₁ − x₂)²(x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = s² − 4p
x₁²x₂ + x₁x₂²x₁x₂(x₁ + x₂) = p · s

Řešený příklad 5

Rovnice x² − 2x − 2 = 0 má kořeny x₁, x₂. Vypočítej x₁² + x₂².

  1. s = 2, p = −2.
  2. x₁² + x₂² = s² − 2p = 4 − 2 · (−2) = 4 + 4 = 8.

Kontrola: kořeny jsou 1 + √3 a 1 − √3. Jejich druhé mocniny jsou 4 + 2√3 a 4 − 2√3, součet je 8 ✓.

Řešený příklad 6

Pro tutéž rovnici: 1/x₁ + 1/x₂ = s / p = 2 / (−2) = −1.

Nejčastější chyby

  • Znaménko součtu. Součet je −b/a, ne b/a. U x² − 7x + 12 = 0 je součet 7, ne −7.
  • Zapomenuté dělení a. U 2x² − 7x + 3 = 0 je součin 3/2, ne 3.
  • Vzorce bez reálných kořenů. Rovnice x² + x + 5 = 0 nemá reálné kořeny (D = 1 − 20 < 0), i když „součet −1“ by se vypočítat dal. Když úloha mluví o reálných kořenech, ověř nejdřív D ≥ 0.
  • x₁² + x₂² ≠ (x₁ + x₂)². Je třeba odečíst 2x₁x₂.

Ve zkratce

  • Pro ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.
  • Pro x² + bx + c = 0: součet −b, součin c.
  • Celočíselné kořeny uhodneš: čísla se součinem c a součtem −b.
  • Z jednoho kořene dostaneš druhý ze součtu nebo ze součinu.
  • Výrazy jako x₁² + x₂² přepiš pomocí součtu a součinu.

Zkus si sám

  1. Urči součet a součin kořenů rovnice x² + 6x − 16 = 0.
  2. Urči součet a součin kořenů rovnice 3x² − 4x − 5 = 0.
  3. Uhodni kořeny rovnice x² − 9x + 20 = 0.
  4. Rovnice x² + bx − 12 = 0 má kořen 3. Najdi druhý kořen a b.
  5. Rovnice x² − 4x + 1 = 0 má kořeny x₁, x₂. Vypočítej x₁² + x₂².
Řešení:
  1. Součet −6, součin −16 (kořeny 2 a −8).
  2. Součet 4/3, součin −5/3.
  3. Součin 20, součet 9: kořeny 4 a 5.
  4. Součin −12: x₂ = −12 / 3 = −4. b = −(3 + (−4)) = 1.
  5. s = 4, p = 1: x₁² + x₂² = 16 − 2 = 14.

Procvič si

👉 Zpět: Rozklad na kořenové činitele · Dále: Rovnice, které vedou na kvadratickou