Počet řešení kvadratické rovnice a rovnice s parametrem
Někdy nepotřebuješ znát řešení, stačí vědět, kolik jich je. Má rovnice x² − 4x + 5 = 0 řešení? Není nutné ji řešit celou — stačí diskriminant: D = 16 − 20 = −4. Je záporný, takže rovnice řešení nemá. Hotovo za pár sekund.
Stejný nápad pomůže i u rovnic, ve kterých je kromě x ještě další písmeno — parametr.
Pro rovnici ax² + bx + c = 0 vypočítej D = b² − 4ac:
Diskriminant
Počet řešení v ℝ
D > 0
dvě různá řešení
D = 0
jedno (dvojnásobné) řešení
D < 0
žádné řešení
Řešený příklad 1
Kolik řešení má rovnice 2x² − 3x − 4 = 0?
D = (−3)² − 4 · 2 · (−4) = 9 + 32 = 41 > 0. Rovnice má dvě řešení.
💡 Když mají a a c opačná znaménka (jako tady 2 a −4), součin −4ac je kladný a D je určitě kladný. Taková rovnice má vždy dvě řešení.
Řešený příklad 2
Kolik řešení má rovnice 4x² − 12x + 9 = 0?
D = (−12)² − 4 · 4 · 9 = 144 − 144 = 0. Rovnice má jedno řešení. Opravdu: 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², řešením je x = 3/2.
Co to znamená na grafu
Řešení rovnice ax² + bx + c = 0 jsou místa, kde graf funkce y = ax² + bx + c (parabola) protíná osu x.
D > 0: parabola protíná osu x ve dvou bodech.
D = 0: parabola se osy x jen dotkne vrcholem.
D < 0: parabola leží celá nad osou x (nebo celá pod ní).
Co je parametr
V rovnici x² + mx + 9 = 0 je neznámá x a písmeno m je parametr — číslo, které zatím neznáme. Za m můžeme dosadit jakékoli číslo a dostaneme konkrétní rovnici:
m = 10: x² + 10x + 9 = 0, D = 100 − 36 = 64 > 0, dvě řešení,
m = 6: x² + 6x + 9 = 0, D = 36 − 36 = 0, jedno řešení,
m = 2: x² + 2x + 9 = 0, D = 4 − 36 = −32 < 0, žádné řešení.
Otázka zní: pro která m má rovnice určitý počet řešení? Diskriminant vypočítáme s písmenem m a podmínku vyřešíme.
Kdy má rovnice dvojnásobný kořen
Dvojnásobný kořen znamená D = 0.
Řešený příklad 3
Pro která m má rovnice x² + mx + 9 = 0 dvojnásobný kořen?
a = 1, b = m, c = 9.
D = m² − 4 · 1 · 9 = m² − 36.
D = 0: m² − 36 = 0, m² = 36.
m = 6 nebo m = −6.
Zkouška pro m = 6: x² + 6x + 9 = (x + 3)², jediný kořen x = −3 ✓.
Řešený příklad 4
Pro která m má rovnice x² − 6x + m = 0 dvojnásobný kořen?
D = (−6)² − 4 · 1 · m = 36 − 4m.
36 − 4m = 0, tedy m = 9.
Řešený příklad 5 — parametr u x²
Pro která m má rovnice mx² − 4x + 1 = 0 dvojnásobný kořen?
Pozor: když m = 0, rovnice je −4x + 1 = 0. To je lineární rovnice, ne kvadratická. Proto m ≠ 0.
D = (−4)² − 4 · m · 1 = 16 − 4m.
16 − 4m = 0, tedy m = 4.
Zkouška: 4x² − 4x + 1 = (2x − 1)², jediný kořen x = 1/2 ✓.
Řešený příklad 6 — parametr v závorce
Pro která m má rovnice x² + (m − 1)x + 4 = 0 dvojnásobný kořen?
b = m − 1, proto D = (m − 1)² − 16.
(m − 1)² = 16, tedy m − 1 = 4 nebo m − 1 = −4.
m = 5 nebo m = −3.
Kdy má rovnice dvě řešení nebo žádné
Místo rovnice D = 0 řešíme nerovnici.
Řešený příklad 7
Pro která m má rovnice x² − 6x + m = 0 dvě různá řešení?
D = 36 − 4m.
D > 0: 36 − 4m > 0, tedy 36 > 4m, m < 9.
A žádné řešení má pro D < 0, tedy pro m > 9. Pro m = 9 má jedno řešení (příklad 4).
Nejčastější chyby
Zapomenutá druhá hodnota. Z m² = 36 plyne m = 6 i m = −6.
Parametr u x². Když je m u x², ověř, jestli m = 0 nedává lineární rovnici — tu vyluč.
Záměna D = 0 a D > 0. „Právě jedno řešení“ je D = 0, „dvě řešení“ je D > 0.
Špatné b. V rovnici x² + (m − 1)x + 4 = 0 je b celé (m − 1), proto b² = (m − 1)².
Ve zkratce
O počtu řešení rozhoduje znaménko diskriminantu D = b² − 4ac.
Parametr je písmeno, za které můžeme dosadit libovolné číslo.
Dvojnásobný kořen: vyřeš rovnici D = 0.
Dvě řešení: D > 0, žádné řešení: D < 0.
Když je parametr u x², vyluč hodnotu, při které by x² zmizelo.
Zkus si sám
Kolik řešení má rovnice 2x² − 3x + 5 = 0?
Kolik řešení má rovnice 4x² − 20x + 25 = 0?
Pro která m má rovnice x² + mx + 16 = 0 dvojnásobný kořen?
Pro která m má rovnice 2x² + 8x + m = 0 dvojnásobný kořen?
Pro která m má rovnice x² + 4x + m = 0 dvě různá řešení?
