Rovnice, které vedou na kvadratickou rovnici

Rovnice, které vedou na kvadratickou rovnici

Rovnice x⁴ − 5x² + 4 = 0 má čtvrtou mocninu, takže kvadratická není. Ale podívej se pořádně: x⁴ = (x²)². Když si x² na chvíli přejmenujeme na t, dostaneme t² − 5t + 4 = 0 — obyčejnou kvadratickou rovnici.

Tomuto triku se říká substituce. Spolu s rovnicemi, které mají neznámou ve jmenovateli, patří k nejčastějším způsobům, jak se složitější rovnice změní na kvadratickou.

Obsah

Bikvadratické rovnice

Rovnice tvaru ax⁴ + bx² + c = 0 je bikvadratická. Postup:

  1. Označ t = x². Rovnice se změní na at² + bt + c = 0.
  2. Vyřeš ji pro t.
  3. Vrať se k x: z každého kladného t dostaneš dvě řešení x = ±√t. Záporné t vyřaď — x² nemůže být záporné.

Řešený příklad 1

x⁴ − 5x² + 4 = 0

  1. t = x²: t² − 5t + 4 = 0.
  2. t₁ = 1, t₂ = 4 (součin 4, součet 5).
  3. x² = 1 dává x = ±1, x² = 4 dává x = ±2.

Řešení: x = −2, −1, 1, 2. Zkouška pro x = 2: 16 − 20 + 4 = 0 ✓.

Řešený příklad 2

x⁴ − 8x² − 9 = 0

  1. t² − 8t − 9 = 0, t₁ = 9, t₂ = −1.
  2. x² = 9 dává x = ±3.
  3. x² = −1 nemá řešení.

Řešení: x = −3, 3.

Řešený příklad 3

x⁴ + 7x² + 12 = 0

t² + 7t + 12 = 0 má kořeny t = −3 a t = −4. Oba jsou záporné, proto rovnice nemá řešení. (Je to vidět i bez počítání: x⁴ i 7x² jsou nezáporné, takže levá strana je alespoň 12.)

Substituce za celý výraz

Když se v rovnici opakuje celý výraz, můžeme ho nahradit jedním písmenem.

Řešený příklad 4

(x² − 3x)² − 2(x² − 3x) − 8 = 0

  1. t = x² − 3x: t² − 2t − 8 = 0, kořeny t₁ = 4, t₂ = −2.
  2. x² − 3x = 4, tedy x² − 3x − 4 = 0: x = 4 nebo x = −1.
  3. x² − 3x = −2, tedy x² − 3x + 2 = 0: x = 1 nebo x = 2.

Řešení: x = −1, 1, 2, 4. Zkouška pro x = 1: (1 − 3)² − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0 ✓.

Neznámá ve jmenovateli

Když je x ve jmenovateli, nejdřív si zapiš podmínky: jmenovatel nesmí být nula. Potom celou rovnici vynásob jmenovatelem (nebo součinem jmenovatelů).

Řešený příklad 5

x − 12/x = 1

  1. Podmínka: x ≠ 0.
  2. Vynásob x: x² − 12 = x.
  3. Uprav: x² − x − 12 = 0, kořeny x = 4 a x = −3.
  4. Oba vyhovují podmínce.

Řešení: x₁ = −3, x₂ = 4. Zkouška: 4 − 12/4 = 4 − 3 = 1 ✓, −3 − 12/(−3) = −3 + 4 = 1 ✓.

Kořen, který je třeba vyřadit

Násobením jmenovatelem může vzniknout kořen, který původní rovnici nesplňuje. Proto na podmínky nikdy nezapomínej.

Řešený příklad 6

(x² − x − 6) / (x − 3) = 0

  1. Podmínka: x ≠ 3.
  2. Zlomek je nula, když je nula čitatel: x² − x − 6 = 0, kořeny x = 3 a x = −2.
  3. x = 3 podmínce nevyhovuje (jmenovatel by byl nula).

Řešení: x = −2.

Řešený příklad 7

x / (x − 2) − 6 / (x + 1) = 6 / ((x − 2)(x + 1))

  1. Podmínky: x ≠ 2, x ≠ −1.
  2. Vynásob (x − 2)(x + 1): x(x + 1) − 6(x − 2) = 6.
  3. Roznásob: x² + x − 6x + 12 = 6, tedy x² − 5x + 6 = 0.
  4. Kořeny x = 2 a x = 3. Kořen x = 2 podmínce nevyhovuje.

Řešení: x = 3. Zkouška: 3/1 − 6/4 = 3 − 1,5 = 1,5 a 6 / (1 · 4) = 1,5 ✓.

Nejčastější chyby

  • Zapomenuté ±. Z x² = 4 jsou dvě řešení, ±2. Bikvadratická rovnice může mít až čtyři řešení.
  • Ponechané záporné t. x² = −1 nemá řešení v ℝ.
  • Chybějící podmínky. Bez nich v příkladu 6 omylem ponecháš x = 3.
  • Násobení jen jedné strany. Jmenovatelem násob každý člen na obou stranách.

Ve zkratce

  • Bikvadratickou rovnici ax⁴ + bx² + c = 0 řeš substitucí t = x².
  • Kladné t dává dvě řešení ±√t, záporné žádné.
  • Opakující se výraz nahraď jedním písmenem.
  • U neznámé ve jmenovateli nejdřív napiš podmínky, potom násob jmenovateli.
  • Na konci ověř každý kořen v podmínkách.

Zkus si sám

  1. x⁴ − 10x² + 9 = 0
  2. x⁴ − 3x² − 4 = 0
  3. x + 6/x = 5
  4. (x² − 4) / (x + 2) = 0
  5. (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0
Řešení:
  1. t = 1 nebo t = 9: x = ±1, ±3.
  2. t = 4 nebo t = −1: x = ±2.
  3. x ≠ 0; x² − 5x + 6 = 0, x = 2 nebo x = 3.
  4. x ≠ −2; x² − 4 = 0 dává ±2, ale −2 nevyhovuje, proto x = 2.
  5. t = x² + x: t = 2 nebo t = 6. x² + x − 2 = 0 dává 1, −2; x² + x − 6 = 0 dává 2, −3. Řešení −3, −2, 1, 2.

Procvič si

👉 Zpět: Viètovy vzorce · Dále: Slovní úlohy na kvadratické rovnice