Número de soluciones de una ecuación de segundo grado y parámetros
A veces no necesitas conocer las soluciones; basta con saber cuántas hay. ¿Tiene solución la ecuación x² − 4x + 5 = 0? No hace falta resolverla entera, basta con el discriminante: D = 16 − 20 = −4. Es negativo, así que la ecuación no tiene solución real. Listo en unos segundos.
La misma idea sirve para ecuaciones en las que, además de x, aparece otra letra: un parámetro.
Para la ecuación ax² + bx + c = 0 calcula D = b² − 4ac:
Discriminante
Número de soluciones en ℝ
D > 0
dos soluciones distintas
D = 0
una solución (doble)
D < 0
ninguna solución
Ejemplo resuelto 1
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x² − 3x − 4 = 0?
D = (−3)² − 4 · 2 · (−4) = 9 + 32 = 41 > 0. La ecuación tiene dos soluciones.
💡 Si a y c tienen signos opuestos (como aquí 2 y −4), el producto −4ac es positivo y D es seguro positivo. Una ecuación así tiene siempre dos soluciones.
Ejemplo resuelto 2
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 4x² − 12x + 9 = 0?
D = (−12)² − 4 · 4 · 9 = 144 − 144 = 0. La ecuación tiene una solución. En efecto: 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², y la solución es x = 3/2.
Qué significa en la gráfica
Las soluciones de la ecuación ax² + bx + c = 0 son los puntos en los que la gráfica de la función y = ax² + bx + c (una parábola) corta el eje x.
D > 0: la parábola corta el eje x en dos puntos.
D = 0: la parábola solo toca el eje x con su vértice.
D < 0: la parábola queda entera por encima del eje x (o entera por debajo).
Qué es un parámetro
En la ecuación x² + mx + 9 = 0, la incógnita es x y la letra m es un parámetro: un número que todavía no conocemos. En lugar de m podemos poner cualquier número y obtenemos una ecuación concreta:
m = 10: x² + 10x + 9 = 0, D = 100 − 36 = 64 > 0, dos soluciones,
m = 6: x² + 6x + 9 = 0, D = 36 − 36 = 0, una solución,
La pregunta es: ¿para qué valores de m tiene la ecuación un número determinado de soluciones? Calculamos el discriminante con la letra m y resolvemos la condición.
Cuándo tiene la ecuación una solución doble
Una solución doble significa D = 0.
Ejemplo resuelto 3
¿Para qué valores de m tiene la ecuación x² + mx + 9 = 0 una solución doble?
a = 1, b = m, c = 9.
D = m² − 4 · 1 · 9 = m² − 36.
D = 0: m² − 36 = 0, m² = 36.
m = 6 o m = −6.
Comprobación para m = 6: x² + 6x + 9 = (x + 3)², única solución x = −3 ✓.
Ejemplo resuelto 4
¿Para qué valor de m tiene la ecuación x² − 6x + m = 0 una solución doble?
D = (−6)² − 4 · 1 · m = 36 − 4m.
36 − 4m = 0, es decir, m = 9.
Ejemplo resuelto 5 — parámetro en x²
¿Para qué valor de m tiene la ecuación mx² − 4x + 1 = 0 una solución doble?
Cuidado: si m = 0, la ecuación es −4x + 1 = 0. Es una ecuación de primer grado, no de segundo. Por tanto, m ≠ 0.
D = (−4)² − 4 · m · 1 = 16 − 4m.
16 − 4m = 0, es decir, m = 4.
Comprobación: 4x² − 4x + 1 = (2x − 1)², única solución x = 1/2 ✓.
Ejemplo resuelto 6 — parámetro en un paréntesis
¿Para qué valores de m tiene la ecuación x² + (m − 1)x + 4 = 0 una solución doble?
b = m − 1, así que D = (m − 1)² − 16.
(m − 1)² = 16, es decir, m − 1 = 4 o m − 1 = −4.
m = 5 o m = −3.
Cuándo tiene dos soluciones o ninguna
En lugar de la ecuación D = 0, resolvemos una inecuación.
Ejemplo resuelto 7
¿Para qué valores de m tiene la ecuación x² − 6x + m = 0 dos soluciones distintas?
D = 36 − 4m.
D > 0: 36 − 4m > 0, es decir, 36 > 4m, m < 9.
Y no tiene solución real cuando D < 0, es decir, cuando m > 9. Para m = 9 tiene una solución (ejemplo 4).
Errores frecuentes
Olvidar el segundo valor. De m² = 36 se deduce m = 6 y también m = −6.
Parámetro en x². Si m acompaña a x², comprueba si m = 0 da una ecuación de primer grado, y descarta ese valor.
Confundir D = 0 con D > 0. «Exactamente una solución» es D = 0; «dos soluciones» es D > 0.
Tomar mal b. En la ecuación x² + (m − 1)x + 4 = 0, b es todo el paréntesis (m − 1), así que b² = (m − 1)².
En resumen
El signo del discriminante D = b² − 4ac decide el número de soluciones.
Un parámetro es una letra en cuyo lugar podemos poner cualquier número.
Solución doble: resuelve la ecuación D = 0.
Dos soluciones: D > 0; ninguna solución: D < 0.
Si el parámetro acompaña a x², descarta el valor con el que desaparecería x².
Prueba tú
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x² − 3x + 5 = 0?
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 4x² − 20x + 25 = 0?
¿Para qué valores de m tiene la ecuación x² + mx + 16 = 0 una solución doble?
¿Para qué valor de m tiene la ecuación 2x² + 8x + m = 0 una solución doble?
¿Para qué valores de m tiene la ecuación x² + 4x + m = 0 dos soluciones distintas?
