Suma y producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado
Multiplica (x − 2)(x − 5) = x² − 7x + 10. Fíjate en los números: −7 es el opuesto de la suma 2 + 5, y 10 es el producto 2 · 5. Las soluciones y los coeficientes de la ecuación están relacionados, y esa relación la descubrió el matemático francés François Viète ya en el siglo XVI. Por eso también se habla de las relaciones de Cardano-Vieta.
Gracias a ella conoces la suma y el producto de las soluciones antes de resolver la ecuación.
Si la ecuación ax² + bx + c = 0 tiene las soluciones x₁ y x₂, entonces
x1+x2=−ab,x1⋅x2=ac
Para una ecuación con a = 1, es decir, x² + bx + c = 0, es todavía más sencillo:
la suma de las soluciones es −b (el opuesto de b),
el producto de las soluciones es c.
Ejemplo resuelto 1
2x² − 7x + 3 = 0
Suma: x₁ + x₂ = −(−7)/2 = 7/2.
Producto: x₁ · x₂ = 3/2.
Comprobación: las soluciones son 3 y 1/2 (D = 49 − 24 = 25, x = (7 ± 5) / 4). Efectivamente, 3 + 1/2 = 7/2 y 3 · 1/2 = 3/2 ✓.
Por qué se cumplen
Las soluciones son x₁ = (−b + √D) / 2a y x₂ = (−b − √D) / 2a.
Al sumarlas, √D se anula: x₁ + x₂ = −2b / 2a = −b/a.
Al multiplicarlas usamos (A + B)(A − B) = A² − B²: x₁ · x₂ = (b² − D) / 4a². Como D = b² − 4ac, tenemos b² − D = 4ac, y por tanto x₁ · x₂ = 4ac / 4a² = c/a.
Adivinar las soluciones
En una ecuación x² + bx + c = 0 con soluciones enteras, buscamos dos números cuyo producto sea c y cuya suma sea −b.
Ejemplo resuelto 2
x² − 7x + 12 = 0
Buscamos dos números con producto 12 y suma 7. Parejas con producto 12: 1 y 12, 2 y 6, 3 y 4. Solo la pareja 3 y 4 suma 7.
A veces las soluciones son feas (con radicales), pero una expresión con ellas da un resultado bonito. Basta con reescribirla usando la suma s = x₁ + x₂ y el producto p = x₁ · x₂:
Expresión
Reescrita
x₁² + x₂²
(x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = s² − 2p
1/x₁ + 1/x₂
(x₁ + x₂) / (x₁x₂) = s / p
(x₁ − x₂)²
(x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = s² − 4p
x₁²x₂ + x₁x₂²
x₁x₂(x₁ + x₂) = p · s
Ejemplo resuelto 5
La ecuación x² − 2x − 2 = 0 tiene las soluciones x₁, x₂. Calcula x₁² + x₂².
s = 2, p = −2.
x₁² + x₂² = s² − 2p = 4 − 2 · (−2) = 4 + 4 = 8.
Comprobación: las soluciones son 1 + √3 y 1 − √3. Sus cuadrados son 4 + 2√3 y 4 − 2√3, y su suma es 8 ✓.
Ejemplo resuelto 6
Para la misma ecuación: 1/x₁ + 1/x₂ = s / p = 2 / (−2) = −1.
Errores frecuentes
El signo de la suma. La suma es −b/a, no b/a. En x² − 7x + 12 = 0 la suma es 7, no −7.
Olvidar dividir entre a. En 2x² − 7x + 3 = 0 el producto es 3/2, no 3.
Usar las fórmulas sin soluciones reales. La ecuación x² + x + 5 = 0 no tiene solución real (D = 1 − 20 < 0), aunque «la suma −1» se podría calcular. Si el problema habla de soluciones reales, comprueba primero que D ≥ 0.
x₁² + x₂² ≠ (x₁ + x₂)². Hay que restar 2x₁x₂.
En resumen
Para ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.
Para x² + bx + c = 0: suma −b, producto c.
Las soluciones enteras se adivinan: dos números con producto c y suma −b.
Con una solución, la otra sale de la suma o del producto.
Expresiones como x₁² + x₂² se reescriben con la suma y el producto.
Prueba tú
Halla la suma y el producto de las soluciones de la ecuación x² + 6x − 16 = 0.
Halla la suma y el producto de las soluciones de la ecuación 3x² − 4x − 5 = 0.
Adivina las soluciones de la ecuación x² − 9x + 20 = 0.
La ecuación x² + bx − 12 = 0 tiene la solución 3. Halla la otra solución y b.
La ecuación x² − 4x + 1 = 0 tiene las soluciones x₁, x₂. Calcula x₁² + x₂².
