El discriminante y la fórmula general de la ecuación de segundo grado
La ecuación x² − 9 = 0 la resuelves con la raíz cuadrada, y la ecuación x² − 5x = 0 sacando x factor común. Pero ¿qué haces con x² − 2x − 15 = 0? Tiene los tres términos y ninguno de los dos trucos funciona.
Para una ecuación de segundo grado completa como esta existe una fórmula que funciona siempre. Vamos a verla paso a paso.
√D es un número positivo; con + y con − salen dos valores distintos
D = 0
una solución (doble)
√0 = 0, los dos valores coinciden: x = −b / 2a
D < 0
no tiene solución real
en ℝ no existe la raíz cuadrada de un número negativo
En la imagen están las gráficas de tres funciones y = x² − 2x + c. Las soluciones de la ecuación son los puntos en los que la gráfica corta el eje x. La parábola naranja lo corta dos veces, la negra solo lo toca y la discontinua no lo corta nunca.
El primer miembro es en realidad (x − 3)², por eso la única solución es x = 3.
Ejemplo resuelto 3 — sin solución
x² + 2x + 5 = 0
D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16.
D < 0: la ecuación no tiene solución real.
💡 Si a es negativo, por ejemplo en −x² + 4x − 3 = 0, multiplica primero toda la ecuación por −1: x² − 4x + 3 = 0. Las soluciones no cambian (x = 1 y x = 3) y las cuentas son más fáciles.
Soluciones con radicales
Si D no es un cuadrado perfecto, la raíz «no sale exacta». Entonces escribimos las soluciones con radicales y simplificamos el radical: sacamos fuera de la raíz el mayor cuadrado perfecto que contenga el radicando.
Ejemplo resuelto 4
x² − 4x + 1 = 0
D = (−4)² − 4 · 1 · 1 = 16 − 4 = 12.
√12 = √(4 · 3) = 2√3.
x = (4 ± 2√3) / 2.
Divide entre 2 los dos términos del numerador: x = 2 ± √3.
Las soluciones son x₁ = 2 + √3, x₂ = 2 − √3 (aproximadamente 3,73 y 0,27).
Ejemplo resuelto 5
x² + 2x − 7 = 0
D = 2² − 4 · 1 · (−7) = 4 + 28 = 32.
√32 = √(16 · 2) = 4√2.
x = (−2 ± 4√2) / 2 = −1 ± 2√2.
Errores frecuentes
El signo de −b. Si b = −2, entonces −b = 2. En la fórmula pones el opuesto de b.
El cuadrado de un b negativo. (−6)² = 36, no −36. Escribe siempre el b negativo entre paréntesis.
Dividir solo una parte del numerador. (4 ± 2√3) / 2 es 2 ± √3, no 2 ± 2√3 ni 4 ± √3.
No simplificar el radical. El resultado (4 ± √12) / 2 no está terminado: √12 = 2√3, así que x = 2 ± √3.
La ecuación no está igualada a 0. En x² = 2x + 15, primero pasa todo al primer miembro: x² − 2x − 15 = 0.
En resumen
Escribe la ecuación en la forma ax² + bx + c = 0 y anota a, b, c con su signo.
Discriminante: D = b² − 4ac.
D > 0: dos soluciones; D = 0: una; D < 0: ninguna.
Soluciones: x = (−b ± √D) / 2a.
Simplifica el radical y la fracción.
Prueba tú
x² + x − 12 = 0
3x² − 5x − 2 = 0
x² − 10x + 25 = 0
x² − 2x − 2 = 0
2x² + 3x + 4 = 0
Soluciones:
D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7) / 2, es decir, x = 3 o x = −4.
D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7) / 6, es decir, x = 2 o x = −1/3.
D = 100 − 100 = 0, x = 10 / 2 = 5.
D = 4 + 8 = 12, x = (2 ± 2√3) / 2 = 1 ± √3.
D = 9 − 32 = −23 < 0, la ecuación no tiene solución real.
