Una habitación cuadrada tiene un suelo de 16 m². ¿Cuánto mide cada pared? Si llamamos x a la longitud de la pared, se cumple x² = 16. ¿Qué número elevado al cuadrado da 16? El 4, pero también el −4, porque (−4)² = 16. Para la pared solo tiene sentido 4 m, pero la ecuación en sí tiene dos soluciones.
Una ecuación en la que la incógnita aparece elevada al cuadrado es una ecuación de segundo grado. En este artículo resolvemos las más sencillas: las incompletas. No hace falta ninguna fórmula.
Toda ecuación de segundo grado se puede escribir en la forma
ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0.
Los números a, b, c son los coeficientes:
a es el número que acompaña a x² (término cuadrático),
b es el número que acompaña a x (término lineal),
c es el número sin x (término independiente).
Por ejemplo, en la ecuación 2x² − 3x + 1 = 0 tenemos a = 2, b = −3, c = 1.
La ecuación es incompleta cuando b = 0 o c = 0, es decir, cuando le falta el término en x o el término independiente. El coeficiente a no puede faltar; si no, la ecuación no sería de segundo grado.
Ecuación sin término en x
Una ecuación del tipo ax² + c = 0 (b = 0) se resuelve así:
Deja x² solo en un miembro.
Haz la raíz cuadrada. No olvides que hay dos soluciones: una positiva y otra negativa. Lo escribimos con el signo ± («más menos»).
El cuadrado de un número real nunca es negativo: un número positivo al cuadrado es positivo, uno negativo también, y el cero da cero.
La ecuación no tiene solución real.
💡 Si te sale x² = 7, las soluciones son x = ±√7. La raíz de un número que no es un cuadrado perfecto también es una solución; simplemente no se puede escribir como número entero.
Ecuación sin término independiente
Una ecuación del tipo ax² + bx = 0 (c = 0) tiene x en los dos términos. Sacamos x factor común:
x · (ax + b) = 0
Un producto vale cero solo cuando al menos uno de sus factores es cero. Por tanto, o bien x = 0, o bien ax + b = 0.
Ejemplo resuelto 5
x² − 5x = 0
x · (x − 5) = 0
x = 0 o x − 5 = 0
x₁ = 0, x₂ = 5
Comprobación: 5² − 5 · 5 = 25 − 25 = 0 ✓.
Ejemplo resuelto 6
2x² + 3x = 0
x · (2x + 3) = 0
x = 0 o 2x + 3 = 0, es decir, 2x = −3
x₁ = 0, x₂ = −3/2
⚠️ ¡No dividas la ecuación x² − 5x = 0 entre x! Te quedaría x − 5 = 0 y perderías la solución x = 0. No se puede dividir entre cero, y x sí puede valer cero.
Ecuaciones que hay que transformar primero
A veces una ecuación no parece incompleta, pero lo es después de operar.
Ejemplo resuelto 7
(x − 3)² = 16
La expresión del paréntesis, elevada al cuadrado, da 16, así que vale 4 o −4:
