Factorización de un polinomio de segundo grado

Factorización de un polinomio de segundo grado

Multiplica (x − 2)(x − 3): x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. Y ahora al revés: el polinomio x² − 5x + 6 se puede escribir como el producto (x − 2)(x − 3). Fíjate en que 2 y 3 son justo las soluciones de la ecuación x² − 5x + 6 = 0.

No es casualidad. Si conoces las soluciones, puedes factorizar el polinomio, y al revés: en el producto ves enseguida las soluciones.

Índice

La regla de la factorización

Si la ecuación ax² + bx + c = 0 tiene las soluciones x₁ y x₂, entonces

ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)

Las expresiones (x − x₁) y (x − x₂) son los factores del polinomio. El número a delante de los paréntesis no se puede omitir.

¿Por qué se cumple? El producto a(x − x₁)(x − x₂) vale cero justo para x = x₁ y x = x₂, y el coeficiente de x² es a. Un polinomio de segundo grado con las mismas raíces y el mismo a es el mismo polinomio.

Ejemplos resueltos

Ejemplo resuelto 1

Factoriza x² + x − 12.

  1. Soluciones de la ecuación x² + x − 12 = 0: D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7) / 2, es decir, x₁ = 3, x₂ = −4.
  2. a = 1, así que x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4).

Cuidado con el signo: la solución −4 da el factor x − (−4) = x + 4.

Comprobación: (x − 3)(x + 4) = x² + 4x − 3x − 12 = x² + x − 12 ✓.

Ejemplo resuelto 2 — el número a delante del paréntesis

Factoriza 2x² − 2x − 12.

  1. Soluciones: D = 4 + 96 = 100, x = (2 ± 10) / 4, es decir, x₁ = 3, x₂ = −2.
  2. a = 2, así que 2x² − 2x − 12 = 2(x − 3)(x + 2).

Ejemplo resuelto 3 — solución fraccionaria

Factoriza 3x² + 4x + 1.

  1. D = 16 − 12 = 4, x = (−4 ± 2) / 6, es decir, x₁ = −1/3, x₂ = −1.
  2. 3x² + 4x + 1 = 3(x + 1/3)(x + 1).
  3. Metemos el 3 en el primer paréntesis: 3(x + 1/3) = 3x + 1. Resultado: (3x + 1)(x + 1).

Comprobación: (3x + 1)(x + 1) = 3x² + 3x + x + 1 = 3x² + 4x + 1 ✓.

Ejemplo resuelto 4 — solución doble

x² − 6x + 9 tiene una única solución, 3 (D = 0), así que x² − 6x + 9 = (x − 3)(x − 3) = (x − 3)².

Cuando el polinomio no se puede factorizar

Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y el polinomio no se puede factorizar como producto de factores de primer grado con números reales. Por ejemplo, x² + x + 1 (D = 1 − 4 = −3).

Escribir la ecuación a partir de las soluciones

La regla también funciona al revés: si conoces las soluciones, escribes la ecuación multiplicando.

Ejemplo resuelto 5

Escribe una ecuación con soluciones 2 y −5 (a = 1).

(x − 2)(x + 5) = x² + 5x − 2x − 10, es decir, x² + 3x − 10 = 0.

Ejemplo resuelto 6

Escribe una ecuación con soluciones 1/2 y 3 y con a = 2.

2(x − 1/2)(x − 3) = (2x − 1)(x − 3) = 2x² − 6x − x + 3, es decir, 2x² − 7x + 3 = 0.

Ejemplo resuelto 7 — soluciones con radicales

Escribe una ecuación con soluciones 2 + √3 y 2 − √3 (a = 1).

(x − 2 − √3)(x − 2 + √3) = (x − 2)² − (√3)² = x² − 4x + 4 − 3, es decir, x² − 4x + 1 = 0.

Hemos usado la identidad (A − B)(A + B) = A² − B² con A = x − 2 y B = √3.

Para qué sirve factorizar

  • Simplificar fracciones algebraicas. (x² − 5x + 6) / (x − 2) = (x − 2)(x − 3) / (x − 2) = x − 3 para x ≠ 2.
  • Leer las soluciones de un vistazo. En la forma 2(x − 3)(x + 2) = 0 ves enseguida las soluciones 3 y −2.
  • Inecuaciones de segundo grado. El signo de un producto se estudia más fácilmente que el signo del polinomio.

Errores frecuentes

  • Olvidar a. 2x² − 2x − 12 no es (x − 3)(x + 2): eso es solo x² − x − 6.
  • Los signos. La solución −4 da (x + 4), no (x − 4).
  • Una fracción dentro del paréntesis. 3(x + 1/3) = 3x + 1, no 3x + 3.
  • Factorizar cuando D < 0. Si la ecuación no tiene soluciones reales, no existe una factorización con números reales.

En resumen

  • Si el polinomio tiene las raíces x₁, x₂, se cumple ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
  • Las raíces se hallan con la fórmula general (o se adivinan con la suma y el producto).
  • La solución −k da el factor (x + k).
  • Con una solución doble, la factorización es a(x − x₁)².
  • La ecuación a partir de sus soluciones se obtiene multiplicando a(x − x₁)(x − x₂).

Prueba tú

  1. Factoriza x² − 7x + 10.
  2. Factoriza x² + 2x − 15.
  3. Factoriza 2x² + 5x − 3.
  4. Escribe una ecuación con soluciones −1 y 4 (a = 1).
  5. Escribe una ecuación con soluciones 1 + √2 y 1 − √2 (a = 1).
Soluciones:
  1. Raíces 2 y 5: (x − 2)(x − 5).
  2. Raíces 3 y −5: (x − 3)(x + 5).
  3. D = 25 + 24 = 49, raíces 1/2 y −3: 2(x − 1/2)(x + 3) = (2x − 1)(x + 3).
  4. (x + 1)(x − 4) = x² − 3x − 4, ecuación x² − 3x − 4 = 0.
  5. (x − 1)² − 2 = x² − 2x − 1, ecuación x² − 2x − 1 = 0.

Practica

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