Un jardinero quiere un huerto rectangular de 96 m² en el que un lado mida 4 m más que el otro. ¿Qué dimensiones tiene el huerto? Si llamamos x al lado más corto, el más largo mide x + 4 y el área es x · (x + 4) = 96. Aquí la incógnita se multiplica por sí misma: ha aparecido una ecuación de segundo grado.
Una ecuación de segundo grado suele tener dos soluciones, pero el problema puede tener solo una respuesta con sentido. Vamos a ver cómo distinguirlas.
Elige la incógnita. Escribe con palabras qué significa x (por ejemplo, «x es el lado corto en metros»).
Expresa las demás cantidades en función de x.
Plantea la ecuación según el enunciado y escríbela en la forma ax² + bx + c = 0.
Resuélvela con la fórmula general o factorizando.
Revisa las soluciones. Una longitud negativa, un número de personas negativo o una velocidad negativa no tienen sentido: descarta esa solución. Después responde con una frase completa.
El rectángulo
Ejemplo resuelto 1
Un huerto tiene un área de 96 m² y un lado mide 4 m más que el otro.
x = lado corto (m), x + 4 = lado largo.
x(x + 4) = 96, es decir, x² + 4x − 96 = 0.
D = 16 + 384 = 400, x = (−4 ± 20) / 2, es decir, x = 8 o x = −12.
−12 no sirve: una longitud no puede ser negativa.
Respuesta: el huerto mide 8 m y 12 m. Comprobación: 8 · 12 = 96 ✓.
Números consecutivos
Ejemplo resuelto 2
El producto de dos números naturales consecutivos es 156. ¿Qué números son?
n = el número menor, n + 1 = el mayor.
n(n + 1) = 156, es decir, n² + n − 156 = 0.
D = 1 + 624 = 625, n = (−1 ± 25) / 2, es decir, n = 12 o n = −13.
−13 no es un número natural.
Respuesta: los números son 12 y 13.
Un torneo — todos contra todos
Si n equipos juegan todos contra todos una vez, cada equipo juega n − 1 partidos. Pero el producto n(n − 1) cuenta cada partido dos veces (una por cada uno de los dos equipos), así que el número de partidos es n(n − 1) / 2.
Ejemplo resuelto 3
En un torneo se jugaron 28 partidos. ¿Cuántos equipos participaron?
n(n − 1) / 2 = 28, es decir, n² − n − 56 = 0.
D = 1 + 224 = 225, n = (1 ± 15) / 2, es decir, n = 8 o n = −7.
Respuesta: participaron 8 equipos.
💡 Del mismo modo, un polígono de n vértices tiene n(n − 3) / 2 diagonales: de cada vértice salen n − 3 diagonales y cada una la hemos contado dos veces.
El triángulo rectángulo
Ejemplo resuelto 4
Los catetos de un triángulo rectángulo se diferencian en 7 cm y la hipotenusa mide 13 cm. ¿Cuánto miden los catetos?
v² + 5v − 300 = 0, D = 25 + 1200 = 1225, v = (−5 ± 35) / 2, es decir, v = 15 o v = −20.
Respuesta: el ciclista iba a 15 km/h. Comprobación: 60/15 = 4 h, 60/20 = 3 h, diferencia 1 h ✓.
Errores frecuentes
Quedarse con una solución sin sentido. Una longitud o un número de equipos negativo no es una respuesta.
Respuesta incompleta. Si se preguntan las dimensiones, hay que dar los dos lados, no solo x.
Incógnita poco clara. Si no escribes qué es x, es fácil responder a otra pregunta.
Olvidar las unidades. La respuesta «8» no basta: son 8 m.
En resumen
Elige la incógnita, expresa las demás cantidades, plantea la ecuación y resuélvela.
Una ecuación de segundo grado suele tener dos soluciones; el problema, solo una respuesta con sentido.
Descarta longitudes, cantidades y velocidades negativas.
Comprueba el resultado con el enunciado y responde con una frase completa.
Prueba tú
El producto de dos números pares consecutivos es 168. ¿Qué números son?
Un rectángulo tiene un perímetro de 30 m y un área de 56 m². ¿Qué dimensiones tiene?
Un polígono tiene 20 diagonales. ¿Cuántos vértices tiene?
Alrededor de un huerto de 6 m × 10 m hay un camino de la misma anchura por todas partes. El huerto con el camino ocupa 140 m². ¿Qué anchura tiene el camino?
Soluciones:
n(n + 2) = 168, n² + 2n − 168 = 0, D = 676, n = 12 (−14 no sirve). Los números son 12 y 14.
a + b = 15, ab = 56: x² − 15x + 56 = 0, x = 7 o x = 8. Dimensiones: 7 m y 8 m.
n(n − 3) / 2 = 20, n² − 3n − 40 = 0, n = 8 (−5 no sirve).
(6 + 2x)(10 + 2x) = 140, 4x² + 32x − 80 = 0, x² + 8x − 20 = 0, x = 2 (−10 no sirve). El camino tiene 2 m de ancho.
