Výrok a výroková logika — úvod

Kamarád ti do chatu napíše: „Jsem na cestě, za pět minut jsem tam.“ Po dvaceti minutách pořád čekáš. Jeho zpráva něco tvrdila — a ukázalo se, že to pravda nebyla.

Jiná zpráva: „Půjdeš večer ven?“ Ta nic netvrdí. Nemá smysl ptát se, jestli je pravdivá. Můžeš na ni jen odpovědět.

Přesně tenhle rozdíl je jádrem výrokové logiky. Některé věty tvrdí něco, co platí, nebo neplatí. Jiné se ptají, přikazují nebo vyjadřují pocit. Matematika pracuje jen s tou první skupinou — s výroky.

Příklad z matematiky: „Číslo 91 je prvočíslo.“ Vypadá to tak, ale neplatí to, protože 91 = 7 · 13. Je to tedy nepravdivý výrok. Výroková logika zkoumá, jak se výroky skládají, jak se negují a jak z nich správně usuzovat.

---

Obsah

• Co je výrok
• Co výrokem není
• Výroková forma — věta s proměnnou
• Hypotéza — výrok, o kterém ještě nevíme
• Pravdivostní hodnota: 1 a 0
• Nejčastější chyby
• Ve zkratce
• Zkus si sám
• Řešení
• Co tě v tématu čeká
• Procvič si

---

Co je výrok

Výrok je oznamovací věta, o které má smysl říct, zda je pravdivá, nebo nepravdivá. Platit musí právě jedno z toho.

Představ si soudní síň. Svědek řekne: „Obžalovaný byl v devět večer doma.“ Soudce zatím neví, jestli je to pravda. Ale ví, že to pravda buď je, nebo není. Třetí možnost neexistuje. Přesně tak se chová výrok.

Všimni si dvou věcí:

• I nepravdivý výrok je výrok. Rozhoduje to, zda věta něco tvrdí, ne to, zda má pravdu.
• Výrok nemusí být napsaný slovy. Zápis „7 < 3“ se čte „sedm je menší než tři“ — a to je tvrzení.

💡 Rychlý test: zkus před větu dát „Je pravda, že …“. Pokud to dává smysl, věta je nejspíš výrok. „Je pravda, že 5 · 4 = 25?“ dává smysl (odpověď: ne). „Je pravda, že půjdeš večer ven?“ zní divně — otázka výrokem není.

Řešený příklad 1: výrok, nebo ne?

Rozhodni, zda jde o výrok. Pokud ano, urči, jestli je pravdivý.

a) „Číslo 2 je jediné sudé prvočíslo.“

• Věta něco tvrdí, je to výrok.
• Sudá čísla větší než 2 jsou dělitelná dvěma, takže mají aspoň tři dělitele (1, 2 a sama sebe). Prvočísla to nejsou.
• Výrok je pravdivý.

b) „Kolik je hodin?“

• Je to otázka. Nic netvrdí, není to výrok.

c) „Součet velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°.“

• Tvrzení, které znáš z geometrie. Výrok, pravdivý.

d) „Číslo 0 je kladné.“

• Tvrzení, tedy výrok. Nula ale není kladná ani záporná, proto je výrok nepravdivý.

---

Co výrokem není

Většina vět, které denně řekneš nebo napíšeš, výroky nejsou. Podívej se proč.

U názorů buď opatrný. Influencerka v reklamě řekne: „Tenhle krém je nejlepší na světě.“ Zní to jako tvrzení, ale ověřit se to nedá — co vlastně znamená „nejlepší“? Je to názor, ne výrok.

Když ale řekne: „Tenhle krém obsahuje 2 % kyseliny salicylové,“ to se ověřit dá. Stačí laboratoř. To už je výrok.

💡 Bonus pro zvídavé: věta „Tato věta je nepravdivá.“ výrokem není. Kdyby byla pravdivá, platilo by, co říká — tedy by byla nepravdivá. Kdyby byla nepravdivá, říkala by pravdu. Nelze jí přiřadit ani jednu hodnotu. Říká se tomu paradox lháře a logici si s ním lámou hlavu už přes dva tisíce let.

---

Výroková forma — věta s proměnnou

Podívej se na větu „x + 3 = 7“. Je pravdivá? Záleží na tom, co je x.

Takové větě říkáme výroková forma. Dokud nevíme, co je x, výrokem není. Je to jako formulář s prázdným políčkem — výrokem se stane, až ho vyplníme.

Výrokové formy najdeš i mimo matematiku:

• „Je mu 16 let.“ — komu? Tvému spolužákovi možná ano, učiteli asi ne.
• „Tento měsíc má 31 dní.“ — pro leden ano, pro duben ne.

Výroková forma se stane výrokem dvěma způsoby.

1. Dosadíme konkrétní hodnotu.

• „4 + 3 = 7“ je pravdivý výrok.
• „Leden má 31 dní.“ je pravdivý výrok.

2. Doplníme kvantifikátor — slovo „pro každé“ nebo „existuje“.

• „Existuje přirozené číslo x, pro které x + 3 = 7.“ — pravdivý výrok (stačí x = 4).
• „Pro každé přirozené číslo x platí x + 3 = 7.“ — nepravdivý výrok (třeba x = 5 nevyhovuje).

⚠️ Proměnná ve větě ještě neznamená výrokovou formu. „Pro každé reálné číslo x platí x² ≥ 0.“ je výrok, protože proměnnou „váže“ slovo „pro každé“. Symbolicky se to zapíše ∀x ∈ ℝ: x² ≥ 0. Je to pravdivý výrok — druhá mocnina žádného reálného čísla není záporná.

Kvantifikátory najdeš i v reklamách. „Každý, kdo pije náš nápoj, zhubne.“ Je to výrok — a k jeho vyvrácení stačí jediný člověk, který nápoj pil a nezhubl. Víc o tom v článku o kvantifikátorech.

Řešený příklad 2: z výrokové formy výrok

Máme výrokovou formu V(n): „n je dělitelné třemi“, kde n je přirozené číslo. Udělej z ní čtyři výroky a urči jejich pravdivost.

Krok 1 — dosadíme n = 6. „6 je dělitelné třemi.“ Platí, protože 6 = 2 · 3. Výrok je pravdivý. Krok 2 — dosadíme n = 7. „7 je dělitelné třemi.“ Neplatí, 7 : 3 dává zbytek 1. Výrok je nepravdivý. Krok 3 — přidáme „existuje“. „Existuje přirozené číslo n, které je dělitelné třemi.“ Stačí najít jedno, třeba n = 6. Výrok je pravdivý. Krok 4 — přidáme „pro každé“. „Každé přirozené číslo n je dělitelné třemi.“ Stačí najít jedno, které nevyhovuje — třeba n = 7. Výrok je nepravdivý.

💡 U „existuje“ hledáš jedno číslo, které vyhovuje. U „pro každé“ hledáš jedno číslo, které nevyhovuje — když ho najdeš, výrok padá.

---

Hypotéza — výrok, o kterém ještě nevíme

Některé výroky jsou buď pravdivé, nebo nepravdivé, jen zatím nikdo neví, co z toho. Říká se jim hypotézy.

Jako ve hře „pravda, nebo lež“: kamarád o sobě něco řekne a ty to nedokážeš ověřit. Jeho věta je i tak buď pravdivá, nebo ne — jen to ty zatím nevíš.

Nejslavnější hypotéza ze světa čísel:

Každé sudé číslo větší než 2 lze zapsat jako součet dvou prvočísel.

To je Goldbachova hypotéza. Christian Goldbach ji zformuloval v dopise Leonhardu Eulerovi v roce 1742. Počítače ji ověřily pro všechna sudá čísla až do 4 · 10¹⁸. Důkaz ale dodnes nikdo nenašel.

Hypotézy se někdy dočkají odpovědi. Pierre de Fermat kolem roku 1637 napsal, že rovnice xⁿ + yⁿ = zⁿ nemá pro n > 2 řešení v kladných celých číslech. Dokázal to až Andrew Wiles v roce 1994 — po více než 350 letech. Od té doby mluvíme o Velké Fermatově větě.

⚠️ Hypotéza je pořád výrok. To, že její pravdivost neznáme, neznamená, že žádnou nemá.

Řešený příklad 3: ověření není důkaz

Ověř Goldbachovu hypotézu pro čísla 30 a 50. Dokázal jsi tím hypotézu?

Krok 1 — číslo 30. Zkoušíme prvočísla od nejmenšího: 30 − 3 = 27 (není prvočíslo, 27 = 3 · 9), 30 − 7 = 23 (prvočíslo). Tedy 30 = 7 + 23. Další možnosti: 11 + 19, 13 + 17. Krok 2 — číslo 50. 50 − 3 = 47 (prvočíslo). Tedy 50 = 3 + 47. Další možnosti: 7 + 43, 13 + 37, 19 + 31. Krok 3 — závěr. Pro 30 a 50 hypotéza platí. Sudých čísel je ale nekonečně mnoho a my jsme ověřili dvě. Ani miliarda ověřených příkladů není důkaz — vždycky může přijít číslo, které nevyhovuje. Hypotézu jsme nedokázali.

---

Pravdivostní hodnota: 1 a 0

Psát pořád „pravdivý“ a „nepravdivý“ je zdlouhavé. Proto pravdivost výroku zapisujeme číslem:

• 1 — výrok je pravdivý,
• 0 — výrok je nepravdivý.

Tomuto číslu se říká pravdivostní hodnota výroku. Na stejném principu funguje tvůj mobil: počítač uvnitř pracuje jen s jedničkami a nulami.

Výroky označujeme velkými písmeny, abychom je nemuseli pořád vypisovat:

Z jednoduchých výroků později složíme složitější. Třeba negace A′ („Číslo 15 není sudé.“) má opačnou hodnotu než A, tedy 1. Jak se počítá hodnota složených výroků, uvidíš v článku o logických spojkách.

💡 Jednička a nula tu neznamenají množství. Jsou to jen zkratky pro „platí“ a „neplatí“ — nic s nimi nesčítáme.

---

Nejčastější chyby

• „Nepravdivá věta není výrok.“ Omyl. „5 · 4 = 25“ je výrok s hodnotou 0.
• Považovat „x + 3 = 7“ za výrok. Dokud nevíme, co je x, je to výroková forma.
• Považovat každou větu s proměnnou za výrokovou formu. „Pro každé reálné x platí x² ≥ 0“ je výrok — proměnnou váže kvantifikátor.
• Prohlásit hypotézu za „ne výrok“. Hypotéza je výrok, jen ještě neznáme jeho hodnotu.
• Považovat názor za výrok. „Tahle pizza je výborná“ nelze objektivně ověřit.
• Myslet si, že pár příkladů něco dokazuje. Ověření pro 30 a 50 nedokazuje tvrzení pro všechna sudá čísla.

---

Ve zkratce

• Výrok je oznamovací věta, která je buď pravdivá, nebo nepravdivá — právě jedno z toho.
• Otázky, rozkazy, přání a názory nejsou výroky.
• Výroková forma obsahuje proměnnou. Výrokem se stane dosazením hodnoty nebo přidáním kvantifikátoru.
• Hypotéza je výrok, jehož pravdivost zatím nikdo nezná (třeba Goldbachova hypotéza).
• Pravdivý výrok má hodnotu 1, nepravdivý hodnotu 0.

---

Zkus si sám

U každé věty rozhodni: je to výrok, výroková forma, nebo ani jedno? Pokud je to výrok, urči jeho hodnotu (1, nebo 0).

1. „Opiš si domácí úkol.“
2. „Číslo 1 je prvočíslo.“
3. „2x + 1 = 9“
4. „Pro každé přirozené číslo n platí n + 1 > n.“
5. „Existuje přirozené číslo, které je zároveň sudé i liché.“
6. „−3 > −1“

---

Řešení

1. Není výrok — rozkaz nic netvrdí.
2. Výrok, hodnota 0. Prvočíslo má právě dva dělitele. Číslo 1 má jen jednoho — samo sebe.
3. Výroková forma. Pro x = 4 vznikne pravdivý výrok 2 · 4 + 1 = 9, pro jiná x nepravdivý.
4. Výrok, hodnota 1. Proměnnou váže „pro každé“. Přičtením jedničky se číslo vždy zvětší.
5. Výrok, hodnota 0. Každé přirozené číslo je buď sudé, nebo liché, nikdy obojí.
6. Výrok, hodnota 0. Na číselné ose leží −3 vlevo od −1, tedy −3 < −1.

---

Co tě v tématu čeká

1. 👉 Logické spojky a tabulky pravdivostních hodnot — jak z jednoduchých výroků složit složitější.
2. 👉 Složený výrok slovy — jak přečíst formuli jako běžnou větu.
3. 👉 Tautologie a kontradikce — výroky, které platí vždy nebo nikdy.
4. 👉 Úsudky a hypotézy — kdy závěr opravdu plyne a co je hypotéza.
5. 👉 Kvantifikátory — každý, existuje, alespoň, nejvýše.
6. 👉 Negace výroků a kvantifikátory — jak správně vyslovit opak.
7. 👉 Implikace, obrácená implikace a obměna — „jestliže …, pak …“ a jeho příbuzní.
8. 👉 Protipříklad a důkazy — jak tvrzení vyvrátit a jak ho dokázat.

---

Procvič si

• 🔍 Je to výrok?
• 🧮 Pravdivost složeného výroku