Logické spojky a tabulky pravdivostních hodnot

Hledáš na e-shopu tenisky. Zaškrtneš značky Nike a Adidas a najednou vidíš víc bot: stačí, aby byly od jedné z těch dvou značek. Pak přidáš velikost 42 a černou barvu a bot je méně: teď musí platit obě podmínky zároveň. Aniž bys to tušil, právě jsi použil dvě logické spojky — „nebo“ a „a“.

Máma ti řekne: „Jestliže si uklidíš pokoj, půjdeš v sobotu na koncert.“ Kdy tě podvedla? A kdy ne? I na to má logika přesnou odpověď.

Z jednoduchých výroků lze složit složitější. Slouží k tomu logické spojky: „ne“, „a“, „nebo“, „jestliže …, pak …“ a „právě tehdy, když“. Dobrá zpráva: pravdivost složeného výroku závisí jen na pravdivosti jeho částí. Nezáleží na tom, jestli mluví o teniskách, koncertu, nebo prvočíslech.

---

Obsah

• Pět logických spojek
• Negace
• Konjunkce — a
• Disjunkce — nebo
• Implikace — jestliže, pak
• Ekvivalence — právě tehdy, když
• Tabulka pravdivostních hodnot složeného výroku
• Nejčastější chyby
• Zkus si sám
• Řešení
• Ve zkratce
• Procvič si

---

Pět logických spojek

V tabulkách níže znamená 1 pravdivý výrok a 0 nepravdivý.

Řádky jdou vždy ve stejném pořadí:

💡 Tohle pořadí si zapamatuj jednou provždy. Když ho dodržíš, snadno porovnáš svou tabulku se spolužákovou i s řešením.

---

Negace

Negace otočí pravdivost: z pravdivého výroku udělá nepravdivý a naopak. Zapisujeme ji čárkou za výrokem: A′ čteme „non A“ nebo „ne A“.

💡 V některých knihách najdeš negaci zapsanou i jako ¬A. Znamená to totéž.

Příklady:

• A: „Číslo 12 je dělitelné číslem 5.“ (0) → A′: „Číslo 12 není dělitelné číslem 5.“ (1)
• B: „Venku prší.“ → B′: „Venku neprší.“
• C: „Je mi aspoň 15 let.“ → C′: „Je mi méně než 15 let.“

⚠️ Negace není „opak“ v běžném smyslu. Negace výroku „Číslo 5 je větší než 3.“ zní „Číslo 5 není větší než 3.“ — a to znamená „je menší než 3 nebo rovno 3“. Ne jen „je menší než 3“.

Jak negovat výroky se slovy „všichni“, „některý“ nebo složené výroky, najdeš v článku Negace výroků.

---

Konjunkce — a

A ∧ B je pravdivá, jen když platí oba výroky. Stačí jeden nepravdivý a celá konjunkce padá.

Příklady:

• „Číslo 30 je sudé a je dělitelné číslem 7.“ — první část platí, druhá ne → 0.
• „Číslo 30 je sudé a je dělitelné číslem 5.“ — obě části platí → 1.
• Pravidlo soutěže: „Přihlásit se můžeš, jestliže je ti 15 let a máš souhlas rodiče.“ Bez souhlasu ti nepomůže, ani když je ti 17.

💡 Ve hrách to znáš z kódu typu `if (klic && u_dveri)`. Dveře se otevřou, jen když máš klíč a zároveň stojíš u dveří.

---

Disjunkce — nebo

A ∨ B je pravdivá, když platí aspoň jeden výrok. Nepravdivá je jedině tehdy, když neplatí ani jeden.

Příklady:

• „Číslo 6 je sudé nebo dělitelné třemi.“ — platí obě části → 1.
• „Číslo 9 je sudé nebo dělitelné třemi.“ — platí druhá část → 1.
• „Číslo 7 je sudé nebo dělitelné třemi.“ — neplatí ani jedna → 0.

Logické „nebo“ versus menu v restauraci

V restauraci ti číšník řekne: „K obědu máte polévku, nebo salát.“ Když budeš chtít obojí, asi ti nevyhoví. To je vylučovací „nebo“ — buď jedno, nebo druhé, ne obojí.

V matematice je to jinak. Matematické „nebo“ není vylučovací: připouští i obojí. Přesně jako vyhledávání: když hledáš články o fotbale nebo hokeji, chceš vidět i ty, které píšou o obou sportech.

💡 V programování se disjunkce píše `||`: podmínka `if (dest || snih)` platí, když prší, když sněží, i když padá obojí zároveň.

⚠️ Když chceš v logice říct „buď A, nebo B, ale ne obojí“, musíš to říct výslovně. Takový výrok je pravdivý, právě když mají A a B různou hodnotu — je to negace ekvivalence, (A ⇔ B)′.

Řešený příklad 1 — vyhodnoť složené výroky

A: „Číslo 15 je dělitelné třemi.“ B: „Číslo 15 je sudé.“ Urči pravdivost výroků A ∧ B, A ∨ B a A′ ∨ B.

1. Nejdřív hodnoty jednoduchých výroků: 15 = 3 · 5, takže A = 1. Číslo 15 je liché, takže B = 0.
2. A ∧ B = 1 ∧ 0. Konjunkce potřebuje dvě jedničky → 0.
3. A ∨ B = 1 ∨ 0. Disjunkci stačí jedna jednička → 1.
4. A′ ∨ B: nejdřív A′ = 0. Pak 0 ∨ 0 → 0.

💡 Vždy postupuj zevnitř ven: nejdřív negace a závorky, teprve potom hlavní spojka.

---

Implikace — jestliže, pak

V implikaci A ⇒ B je A předpoklad a B závěr. Implikace je nepravdivá jedině tehdy, když předpoklad platí a závěr neplatí.

Implikaci si představ jako slib. Slib je porušený jen tehdy, když jsi podmínku splnil, a odměna nepřišla.

Řešený příklad 2 — slib a koncert

Máma slíbí: „Jestliže si uklidíš pokoj, půjdeš na koncert.“ Označme U: „Uklidíš si pokoj.“ a K: „Půjdeš na koncert.“ Slib je U ⇒ K. Projděme všechny čtyři situace:

Třetí řádek překvapí nejvíc. Máma ale neslíbila, že bez uklízení nepůjdeš. Řekla jen, co se stane, když si uklidíš. Když si neuklidíš, slib o tom mlčí — a proto ho nemůže porušit.

Další příklady:

• „Jestliže je číslo dělitelné čtyřmi, pak je sudé.“ — pravdivá implikace. Neexistuje číslo dělitelné čtyřmi, které by bylo liché.
• „Jestliže 2 + 2 = 5, pak jsem prezident.“ — pravdivá implikace! Předpoklad je nepravdivý, takže celek je 1.
• Ve hře: „Když nasbíráš 100 mincí, odemkne se nová postava.“ Když máš 100 mincí a postava se neodemkne, hra má chybu. Když máš 40 mincí, hra ti nic neslíbila.

⚠️ Implikace neříká nic o příčině. Výrok „Jestliže je Praha hlavní město Česka, pak 7 je prvočíslo.“ je pravdivý (1 ⇒ 1), i když spolu obě části vůbec nesouvisí.

⚠️ A ⇒ B není totéž co B ⇒ A. „Jestliže je číslo dělitelné čtyřmi, pak je sudé.“ platí. Obráceně „Jestliže je číslo sudé, pak je dělitelné čtyřmi.“ neplatí — vezmi si číslo 6. Víc v článku Implikace a její obměna.

---

Ekvivalence — právě tehdy, když

A ⇔ B je pravdivá, když mají oba výroky stejnou hodnotu — oba platí, nebo oba neplatí.

Ekvivalence je „implikace oběma směry“: A ⇔ B znamená, že platí A ⇒ B i B ⇒ A.

Příklady:

• „Přirozené číslo končí číslicí 0 právě tehdy, když je dělitelné číslem 10.“ — pravdivá ekvivalence.
• „Trojúhelník je rovnostranný právě tehdy, když má všechny úhly 60°.“ — pravdivá.
• „Číslo je sudé právě tehdy, když je dělitelné čtyřmi.“ — nepravdivá. Číslo 6 je sudé, ale čtyřmi dělitelné není.
• Na koncert tě pustí právě tehdy, když máš platnou vstupenku. Kdo ji má, jde dovnitř. Kdo ji nemá, nejde.

---

Tabulka pravdivostních hodnot složeného výroku

U složitějšího výroku nepočítej všechno najednou. Přidej si pomocné sloupce — jeden pro každou část výroku — a postupuj zleva doprava.

Kolik řádků bude mít tabulka

Každý výrok může mít dvě hodnoty. Pro n jednoduchých výroků je tedy 2 · 2 · … · 2 = 2ⁿ řádků.

U tří výroků A, B, C vyplň první sloupce takto: ve sloupci A čtyři jedničky a čtyři nuly, ve sloupci B po dvou (1 1 0 0 1 1 0 0), ve sloupci C střídavě (1 0 1 0 1 0 1 0).

Řešený příklad 3 — tabulka výroku (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

1. Výroky jsou dva → tabulka má 2² = 4 řádky.
2. Pomocný sloupec A ⇒ B: nula je jen v řádku 1 0.
3. Pomocný sloupec B ⇒ A: nula je jen tam, kde B = 1 a A = 0, tedy v řádku 0 1.
4. Výsledek je konjunkce obou pomocných sloupců: jednička jen tam, kde jsou obě jedničky.

Poslední sloupec je 1 0 0 1 — přesně jako u A ⇔ B. Tím jsme ověřili, že ekvivalence je opravdu „implikace oběma směry“.

Podobně vyjde, že A′ ∨ B má vždy stejnou hodnotu jako A ⇒ B:

Řešený příklad 4 — pravidlo soutěže se třemi výroky

Pravidlo: „Jestliže je ti 15 let a máš souhlas rodiče, můžeš se přihlásit.“ Označme V: „Je ti 15 let.“, S: „Máš souhlas rodiče.“ a P: „Můžeš se přihlásit.“ Pravidlo je (V ∧ S) ⇒ P.

1. Výroky jsou tři → 2³ = 8 řádků.
2. Pomocný sloupec V ∧ S: jednička jen v prvních dvou řádcích, kde V = 1 i S = 1.
3. Implikace (V ∧ S) ⇒ P je nepravdivá jen tam, kde V ∧ S = 1 a P = 0.

Pravidlo se poruší jediným způsobem: splňuješ obě podmínky, a stejně tě nepřihlásí (řádek 1 1 0). Všechny ostatní situace s pravidlem nejsou v rozporu.

---

Nejčastější chyby

• „Nebo“ jako v menu. Matematické „nebo“ je pravdivé i tehdy, když platí obě části.
• Implikace s nepravdivým předpokladem je prý nepravdivá. Ne — když předpoklad neplatí, implikace je vždy 1.
• Záměna A ⇒ B a B ⇒ A. „Když prší, je mokro.“ neznamená „Když je mokro, prší.“ (Mohlo jet kropicí auto.)
• Hledání souvislosti v implikaci. Pravdivost určují jen hodnoty 1 a 0, ne to, jestli k sobě části „sedí“.
• Špatný počet řádků. U tří výroků to není 6 řádků (2 · 3), ale 8 (2³).
• Zapomenuté závorky. (A ∧ B)′ není A′ ∧ B. Pro A = 1, B = 0 vyjde (A ∧ B)′ = 1, ale A′ ∧ B = 0.
• Negace jako „opak“. Negace výroku „x je větší než 3“ je „x není větší než 3“, ne „x je menší než 3“.

---

Zkus si sám

1. A: „7 je prvočíslo.“ B: „7 je sudé číslo.“ Urči hodnotu výroků: a) A ∧ B′ b) A′ ∨ B c) B ⇒ A d) A ⇔ B.
2. Kolik řádků má tabulka pravdivostních hodnot výroku, ve kterém jsou čtyři jednoduché výroky? A kolik u pěti?
3. Kamarád slíbí: „Jestliže vyhrajeme zápas, pozvu vás na pizzu.“ a) Vyhráli jste a pizza nebyla. Porušil slib? b) Prohráli jste a pizza stejně byla. Porušil slib?
4. Je pravdivý výrok „Jestliže 2 · 3 = 7, pak je Měsíc ze sýra.“? Proč?
5. Sestav tabulku pravdivostních hodnot výroku A ∧ B′ s pomocným sloupcem B′.
6. O výrocích A, B víš, že A ⇒ B je nepravdivá. Jaké hodnoty mají A a B? Jaká je potom hodnota A ∨ B?

---

Řešení

1. A = 1, B = 0, B′ = 1, A′ = 0. a) 1 ∧ 1 = 1 b) 0 ∨ 0 = 0 c) 0 ⇒ 1 = 1 d) 1 ⇔ 0 = 0.
2. 2⁴ = 16 řádků. U pěti výroků 2⁵ = 32 řádků.
3. a) Ano, předpoklad platil (1) a závěr ne (0) → implikace je 0. b) Ne, předpoklad neplatil, takže slib porušen nebyl → 1.
4. Ano, je pravdivý. Předpoklad 2 · 3 = 7 je nepravdivý a implikace s nepravdivým předpokladem je vždy pravdivá.
5. Sloupec B′ je 0 1 0 1, výsledek A ∧ B′ je 0 1 0 0. Jednička je jen v řádku A = 1, B = 0.

1. Implikace je nepravdivá jedině pro A = 1, B = 0. Potom A ∨ B = 1 ∨ 0 = 1.

---

Ve zkratce

• Negace A′ otočí hodnotu: 1 → 0, 0 → 1.
• Konjunkce A ∧ B je pravdivá, jen když platí obě části.
• Disjunkce A ∨ B je nepravdivá, jen když neplatí ani jedna část. „Nebo“ připouští i obojí.
• Implikace A ⇒ B je nepravdivá jedině v případě 1 ⇒ 0 — splněná podmínka, nesplněný slib.
• Ekvivalence A ⇔ B je pravdivá, když mají obě části stejnou hodnotu.
• Tabulka pro n výroků má 2ⁿ řádků v pořadí od samých jedniček po samé nuly. Složitý výrok rozlož na pomocné sloupce.

---

Procvič si

• 🧮 Pravdivost složeného výroku
• ✏️ Složený výrok slovy
• 📊 Tabulka pravdivostních hodnot

👉 Další článek: Složený výrok slovy — od symbolů k větě