Ráno vyjdeš ven a silnice je celá mokrá. „Aha, v noci pršelo,“ řekneš si. Jenže pak uvidíš kropicí vůz, který zrovna zahýbá za roh. Nepršelo ani kapku.
Kde se stala chyba? Pravda je: jestliže prší, pak je silnice mokrá. Ty sis to ale otočil na „jestliže je silnice mokrá, pak pršelo“. A to už pravda být nemusí.
Přesně takové věty „jestliže …, pak …“ jsou v matematice všude. Jestliže je číslo dělitelné šesti, pak je dělitelné třemi. Jestliže je trojúhelník pravoúhlý, pak platí Pythagorova věta. V tomto článku se naučíš, jak se dají takové věty otáčet a negovat — a které z nových vět zůstanou pravdivé.
Obsah
- Předpoklad a závěr
- Postačující a nutná podmínka
- Obrácená implikace
- Obměna implikace
- Opačná implikace
- Které mají stejnou pravdivost
- Ekvivalence — když platí oba směry
- Řešené příklady
- Nejčastější chyby
- Ve zkratce
- Zkus si sám
- Řešení
- Procvič si
Předpoklad a závěr
V implikaci A ⇒ B je A předpoklad a B závěr. Čteme ji „jestliže A, pak B“ nebo „z A plyne B“.
Jestliže je přirozené číslo n dělitelné číslem 6, pak je n dělitelné číslem 3.
- předpoklad A: n je dělitelné číslem 6,
- závěr B: n je dělitelné číslem 3.
Tato implikace je pravdivá. Každý násobek šesti je i násobkem tří: 6, 12, 18, 24 …
Implikace funguje jako slib. Máma řekne: „Jestli napíšeš písemku na jedničku, koupím ti zmrzlinu.“ Kdy máma slib porušila?
| Písemka na 1 (A) | Zmrzlina (B) | Slib dodržen? (A ⇒ B) |
|---|---|---|
| ano | ano | ano |
| ano | ne | ne — tady máma lhala |
| ne | ano | ano — koupila ji stejně, slib tím neporušila |
| ne | ne | ano — podmínka nenastala |
💡 Implikace je nepravdivá jedině tehdy, když předpoklad platí a závěr neplatí. Když předpoklad neplatí, je implikace pravdivá — o takové situaci nic neslibuje.
Postačující a nutná podmínka
Když platí A ⇒ B, říkáme:
- A je postačující podmínka pro B — když nastane A, máš B „zadarmo“,
- B je nutná podmínka pro A — bez B se A stát nemůže.
Příklad ze života:
Jestliže máš platnou vstupenku, pustí tě na koncert.
Vstupenka stačí k tomu, aby tě pustili dovnitř. Nutná ale není — dovnitř projde i zvukař, ochranka nebo samotná kapela.
A opačný případ:
Jestliže smíš volit do Poslanecké sněmovny, pak jsi plnoletý.
Plnoletost je nutná — bez ní volit nemůžeš. Postačující ale není. Plnoletý turista z Itálie u nás do Poslanecké sněmovny volit nesmí.
U dělitelnosti to vypadá takto:
- dělitelnost číslem 6 stačí k dělitelnosti číslem 3,
- dělitelnost číslem 3 je nutná k dělitelnosti číslem 6.
💡 Pomůcka: postačující podmínka stojí před šipkou, nutná za šipkou. Šipka ukazuje od „stačí“ k „je potřeba“.
Obrácená implikace
Obrácená implikace k A ⇒ B je B ⇒ A. Předpoklad a závěr se jen prohodí.Jestliže je přirozené číslo n dělitelné číslem 3, pak je n dělitelné číslem 6.
Tato implikace je nepravdivá. Vyvrátí ji číslo 9: je dělitelné třemi, ale ne šesti.
Přesně tohle se stalo s mokrou silnicí:
| Věta | Platí? |
|---|---|
| Jestliže prší, pak je silnice mokrá. | ano |
| Jestliže je silnice mokrá, pak prší. | ne — kropicí vůz, tající sníh |
Podobně to zná lékař. Když máš angínu, bolí tě v krku. Ale když tě bolí v krku, nemusíš mít angínu — možná jsi jen včera dvě hodiny řval na zápase. Proto lékař nestanoví diagnózu podle jediného příznaku.
⚠️ Z pravdivosti implikace neplyne pravdivost obrácené implikace. To je jedna z nejčastějších chyb v usuzování — v matematice i v běžném životě.
Obměna implikace
Obměna implikace A ⇒ B je B′ ⇒ A′. Předpoklad a závěr se prohodí a oba se znegují.Jestliže není přirozené číslo n dělitelné číslem 3, pak není n dělitelné číslem 6.
Obměna je pravdivá, stejně jako původní implikace. Zkus to na životě:
- implikace: Jestliže prší, pak je silnice mokrá.
- obměna: Jestliže silnice není mokrá, pak neprší.
Obě věty říkají totéž. Když vidíš suchou silnici, víš jistě, že neprší. Není to náhoda — obměna má vždy stejnou pravdivost jako původní implikace.
💡 Obměnu si zapamatuješ jako „prohoď a zneguj“.
Opačná implikace
Implikaci A′ ⇒ B′ říkáme opačná. Zneguješ předpoklad i závěr, ale neprohodíš je.
Jestliže není přirozené číslo n dělitelné číslem 6, pak není n dělitelné číslem 3.
Je nepravdivá — opět ji vyvrátí číslo 9. Není dělitelné šesti, a přesto je dělitelné třemi.
Ze života: „Jestliže neprší, pak silnice není mokrá.“ Kropicí vůz tě znovu vyvede z omylu.
💡 Opačná implikace je obměnou obrácené implikace. Proto má vždy stejnou pravdivost jako obrácená.
Které mají stejnou pravdivost
Všechny čtyři věty hezky vedle sebe:
| Název | Zápis | Příklad | Pravdivost |
|---|---|---|---|
| implikace | A ⇒ B | Jestliže prší, silnice je mokrá. | — |
| obměna | B′ ⇒ A′ | Jestliže silnice není mokrá, neprší. | vždy stejná jako A ⇒ B |
| obrácená implikace | B ⇒ A | Jestliže je silnice mokrá, prší. | může být jiná |
| opačná implikace | A′ ⇒ B′ | Jestliže neprší, silnice není mokrá. | vždy stejná jako B ⇒ A |
Že obměna opravdu vždy sedí, ověříme tabulkou pravdivostních hodnot:
| A | B | A ⇒ B | B′ | A′ | B′ ⇒ A′ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Třetí a poslední sloupec jsou stejné v každém řádku. Implikace i její obměna jsou nepravdivé ve stejné situaci: A platí a B neplatí.
K čemu je to dobré? Když je těžké dokázat A ⇒ B přímo, můžeš dokázat její obměnu. Tomu se říká nepřímý důkaz. Víc o něm najdeš v článku Protipříklad a důkazy.
Ekvivalence — když platí oba směry
Někdy platí implikace i obrácená implikace. Pak to zapíšeme jako ekvivalenci A ⇔ B a čteme „A právě tehdy, když B“.
Přirozené číslo n končí číslicí 0 právě tehdy, když je n dělitelné číslem 10.
Platí obojí:
- číslo s nulou na konci je dělitelné deseti (například 70 = 7 · 10),
- každý násobek deseti končí nulou (10, 20, 30 …).
Pak je A nutnou i postačující podmínkou pro B. Jinak řečeno: A a B jsou jen dva různé způsoby, jak říct totéž.
U dělitelnosti šesti a třemi ekvivalence neplatí — obrácená implikace selhala na čísle 9.
💡 Dobré definice jsou vždy ekvivalence. „Trojúhelník je rovnostranný právě tehdy, když má všechny tři strany stejně dlouhé.“
Řešené příklady
Řešený příklad 1: čtyři implikace a protipříklady
Je dána pravdivá implikace:
Jestliže je čtyřúhelník čtverec, pak má všechny čtyři strany stejně dlouhé.
Vytvoř obrácenou implikaci, obměnu a opačnou implikaci. Rozhodni o jejich pravdivosti.
| Druh | Věta | Platí? |
|---|---|---|
| obrácená | Jestliže má čtyřúhelník všechny strany stejně dlouhé, pak je to čtverec. | ne |
| obměna | Jestliže čtyřúhelník nemá všechny strany stejně dlouhé, pak to není čtverec. | ano |
| opačná | Jestliže čtyřúhelník není čtverec, pak nemá všechny strany stejně dlouhé. | ne |
Obměnu nemusíš ověřovat zvlášť. Původní implikace je pravdivá, takže i obměna je pravdivá.
Řešený příklad 2: nutná, nebo postačující?
Výroky: A — „přirozené číslo n je dělitelné číslem 4“, B — „n je sudé“.
Krok 1. Platí A ⇒ B? Ano. Násobek čtyř je 4 · k = 2 · (2k), takže je sudý. Krok 2. Platí B ⇒ A? Ne. Protipříklad: 6 je sudé, ale čtyřmi dělitelné není. Závěr. Dělitelnost čtyřmi je postačující podmínka sudosti. Sudost je nutná podmínka dělitelnosti čtyřmi. Ekvivalence to není.Stejné je to s řidičským průkazem. Složit zkoušky v autoškole je nutná podmínka, abys dostal řidičák. Postačující není — potřebuješ i dostatečný věk a lékařský posudek.
Řešený příklad 3: kdy z implikace vznikne ekvivalence
Porovnej dvě podobné věty.
a) Pro přirozené číslo n: „Jestliže je n sudé, pak je n² sudé.“Implikace platí: (2k)² = 4k² = 2 · (2k²).
Obrácená: „Jestliže je n² sudé, pak je n sudé.“ Přímo se dokazuje těžko. Dokážeme proto její obměnu: „Jestliže n není sudé, pak n² není sudé.“ Liché číslo je 2k + 1 a (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1, což je liché. Obměna platí, takže platí i obrácená implikace.
Platí oba směry, tedy: n je sudé ⇔ n² je sudé.
b) Pro reálné číslo x: „Jestliže x > 2, pak x² > 4.“Implikace platí: kladné číslo větší než 2 má druhou mocninu větší než 4.
Obrácená: „Jestliže x² > 4, pak x > 2.“ Neplatí. Protipříklad: x = −3. Platí (−3)² = 9 > 4, ale −3 > 2 neplatí.
Tady ekvivalence není. Záleží tedy i na tom, s jakými čísly pracuješ.
Nejčastější chyby
- Otočení implikace. „Silnice je mokrá, takže pršelo.“ Z A ⇒ B neplyne B ⇒ A.
- Obměna bez prohození. Když jen zneguješ obě části a neprohodíš je, nevznikne obměna, ale opačná implikace A′ ⇒ B′.
- Obměna bez negace. Když části jen prohodíš, dostaneš obrácenou implikaci, ne obměnu.
- Prohozená nutná a postačující podmínka. Postačující je předpoklad (před šipkou), nutná je závěr (za šipkou).
- Špatný protipříklad. Protipříklad na A ⇒ B musí splňovat A a nesplňovat B. Číslo 5 nevyvrátí „jestliže je n dělitelné šesti, pak je dělitelné třemi“ — není dělitelné šesti, takže o něm implikace nic netvrdí.
- Špatná negace. Negace věty „n je dělitelné číslem 6“ je „n není dělitelné číslem 6“, ne „n je dělitelné číslem 3“.
Ve zkratce
- V implikaci A ⇒ B je A předpoklad (postačující podmínka) a B závěr (nutná podmínka).
- Implikace je nepravdivá jedině tehdy, když A platí a B neplatí.
- Obměna B′ ⇒ A′ má vždy stejnou pravdivost jako A ⇒ B — na tom stojí nepřímý důkaz.
- Obrácená B ⇒ A a opačná A′ ⇒ B′ mají stejnou pravdivost navzájem, ale s původní se mohou lišit.
- Když platí A ⇒ B i B ⇒ A, jde o ekvivalenci A ⇔ B.
Zkus si sám
1. Implikace: „Jestliže je přirozené číslo n dělitelné číslem 10, pak je n dělitelné číslem 5.“ Napiš obrácenou implikaci, obměnu a opačnou implikaci. Rozhodni o pravdivosti každé z nich. 2. „Jestliže je trojúhelník rovnostranný, pak je rovnoramenný.“ Je pravdivá obrácená implikace? Pokud ne, najdi protipříklad. 3. Je „přirozené číslo končí číslicí 5“ nutná, nebo postačující podmínka pro „přirozené číslo je dělitelné číslem 5“? 4. Doplň: „Být plnoletý je … podmínka k tomu, abys mohl volit do Poslanecké sněmovny.“ Je to i podmínka postačující? 5. Napiš obměnu implikace „Jestliže je n² liché, pak je n liché.“ (n je přirozené číslo.) Je obměna pravdivá? 6. Rozhodni, zda platí ekvivalence. Pokud ne, uveď protipříklad.- a) Přirozené číslo n je dělitelné číslem 2 i číslem 3 právě tehdy, když je n dělitelné číslem 6.
- b) Pro reálné číslo x: x² = 9 právě tehdy, když x = 3.
Řešení
1. Původní implikace je pravdivá.- Obrácená: „Jestliže je n dělitelné číslem 5, pak je n dělitelné číslem 10.“ Nepravdivá — číslo 5.
- Obměna: „Jestliže není n dělitelné číslem 5, pak není n dělitelné číslem 10.“ Pravdivá.
- Opačná: „Jestliže není n dělitelné číslem 10, pak není n dělitelné číslem 5.“ Nepravdivá — číslo 15 není dělitelné deseti, ale je dělitelné pěti.
- a) Platí. Číslo dělitelné 2 i 3 je dělitelné 6 a každý násobek šesti je dělitelný dvěma i třemi.
- b) Neplatí. Směr „jestliže x = 3, pak x² = 9“ platí, ale opačný ne: x = −3 splňuje x² = 9, a přitom x ≠ 3.
Procvič si
👉 Další článek: Protipříklad a důkazy