Negace výroků a kvantifikátory

Brácha se u večeře chlubí: „V pátek jsem dostal jedničku z matiky i z fyziky.“ Ty víš své a řekneš: „To není pravda!“

Co jsi ale vlastně řekl? Netvrdíš, že dostal dvě pětky. Netvrdíš ani, že nedostal jedničku z ničeho. Tvrdíš jen to, že aspoň jedna z těch dvou jedniček je vymyšlená.

Přesně tohle je negace výroku. Tvrdí přesný opak — nic víc, nic míň. V hádce to skoro nikdo neřeší. V matematice, ve školním řádu nebo při ověřování zpráv (fact-checkingu) na tom ale záleží. A právě tady se dělá nejvíc chyb: opakem slova „každý“ totiž není „žádný“.

---

Obsah

• Co vlastně tvrdí negace
• Test negace
• Negace nerovnosti
• Negace spojek a a nebo
• Negace implikace — porušený slib
• Negace ekvivalence
• Každý, existuje a žádný
• Alespoň a nejvýše
• Přehled pravidel
• Nejčastější chyby
• Ve zkratce
• Zkus si sám
• Řešení
• Procvič si

---

Co vlastně tvrdí negace

Negaci výroku A zapisujeme A′ a čteme „není pravda, že A“. Nejjednodušší je dát před celou větu „Není pravda, že …“. To je vždycky správně, ale nezní to hezky. Lepší je větu přeformulovat tak, aby zněla přirozeně.

U jednoduché věty stačí přidat nebo ubrat „ne“. Zajímavé to začne být u vět se spojkami a se slovy jako „každý“ nebo „alespoň“.

---

Test negace

Jak poznáš, že jsi negoval správně? Výrok a jeho negace musí splňovat dvě podmínky:

• nemohou platit zároveň,
• nemohou zároveň neplatit.

Vždy tedy platí právě jeden z nich. Když najdeš situaci, ve které platí oba, nebo neplatí ani jeden, negace je špatně.

Vyzkoušej to na hádce s bráchou. Výrok: „Mám jedničku z matiky i z fyziky.“ Kandidát na negaci: „Mám pětku z matiky i z fyziky.“

• Situace: z matiky jednička, z fyziky trojka.
• Výrok neplatí (z fyziky jedničku nemá).
• Kandidát taky neplatí (z matiky pětku nemá).
• Neplatí ani jeden → není to negace.

💡 Test negace je tvoje pojistka. Když si nejsi jistý, vymysli konkrétní situaci a zkontroluj, jestli platí právě jedna ze dvou vět.

---

Negace nerovnosti

Opakem „menší“ není „větší“. Negace „a < b“ je „a ≥ b“, ne „a > b“. Na rovnost se nesmí zapomenout: když a = b, neplatí ani a < b, ani a > b.

Příklad ze života: „Dětská skluzavka je pro děti, které měří méně než 140 cm.“ Kdo na ni nesmí? Ten, kdo měří 140 cm nebo víc. Kdo má přesně 140 cm, už se nesveze.

💡 Pomůcka: číselná osa se rozdělí na dvě části, které se nepřekrývají. Hraniční číslo patří právě do jedné z nich. Když je v původním výroku znak bez rovnosti, negace rovnost má — a naopak.

---

Negace spojek a a nebo

Při negaci složeného výroku se spojka mění: „a“ na „nebo“ a „nebo“ na „a“. Jsou to De Morganova pravidla.

(A ∧ B)′ ⇔ A′ ∨ B′

(A ∨ B)′ ⇔ A′ ∧ B′

Proč? Aby konjunkce „A a B“ neplatila, stačí, když selže jedna její část. Proto „nebo“. Disjunkce „A nebo B“ neplatí jen tehdy, když selžou obě části. Proto „a“.

Příklady:

💡 Druhý řádek je fact-checking v praxi. Když chceš vyvrátit reklamu „bez cukru a bez konzervantů“, nemusíš dokázat obojí. Stačí najít na obalu cukr nebo konzervant.

💡 Negaci „nebo“ často řekneš pomocí „ani … ani“: „Zítra ani nepíšeme test, ani neodevzdáváme projekt.“

Řešený příklad 1

Neguj výrok: „Číslo 24 je sudé a je dělitelné číslem 9.“

1. Rozlož ho na části. A: „Číslo 24 je sudé.“ B: „Číslo 24 je dělitelné číslem 9.“
2. Výrok má tvar A ∧ B. Jeho negace je A′ ∨ B′.
3. Zneguj každou část a spojku „a“ vyměň za „nebo“.
4. Negace: „Číslo 24 není sudé nebo není dělitelné číslem 9.“

Kontrola: A platí, B neplatí (24 : 9 nevychází). Původní výrok je proto nepravdivý. V negaci A′ neplatí, ale B′ platí, takže negace je pravdivá. Platí právě jeden z nich ✓.

---

Negace implikace — porušený slib

Máma řekne: „Když si uklidíš pokoj, dostaneš 200 korun.“ Kdy máma slib porušila? Projdi všechny čtyři možnosti:

Slib poruší jedině ten, kdo podmínku splnil, ale odměnu nedostal. Přesně tohle říká negace implikace:

(A ⇒ B)′ ⇔ A ∧ B′

Tedy: „Pokoj sis uklidil a 200 korun jsi nedostal.“

Matematický příklad:

• Výrok: „Jestliže je číslo 42 dělitelné číslem 6, pak je dělitelné číslem 4.“
• Negace: „Číslo 42 je dělitelné číslem 6 a není dělitelné číslem 4.“

⚠️ Negace implikace už není implikace. Výrok „Jestliže není číslo 42 dělitelné číslem 6, pak není dělitelné číslem 4.“ negací není.

Ověř to testem negace na slibu. Špatný kandidát: „Když si neuklidíš pokoj, nedostaneš 200 korun.“ Situace: neuklidil sis a peníze jsi nedostal. Mámin slib platí. Špatný kandidát taky platí. Platí oba → není to negace.

⚠️ Stejně špatně je „Když si uklidíš pokoj, nedostaneš 200 korun.“ Když si pokoj neuklidíš, platí mámin slib i tahle věta.

Řešený příklad 2

Neguj výrok: „Jestliže je číslo 18 dělitelné číslem 6, pak je dělitelné číslem 4.“

1. A: „Číslo 18 je dělitelné číslem 6.“ B: „Číslo 18 je dělitelné číslem 4.“
2. Výrok má tvar A ⇒ B. Negace je A ∧ B′ — žádné „jestliže … pak“.
3. První část nech, druhou zneguj a spoj je slovem „a“.
4. Negace: „Číslo 18 je dělitelné číslem 6 a není dělitelné číslem 4.“

Kontrola: 18 = 6 · 3, takže A platí. Číslo 18 ale není dělitelné číslem 4, takže B neplatí. Implikace „pravda ⇒ nepravda“ je nepravdivá. Negace „pravda a pravda“ je pravdivá ✓.

---

Negace ekvivalence

Ekvivalence A ⇔ B tvrdí, že A a B mají stejnou pravdivostní hodnotu. Její negace tedy tvrdí, že mají různou hodnotu: jeden platí a druhý ne.

(A ⇔ B)′ ⇔ (A ∧ B′) ∨ (A′ ∧ B)

Příklad: „Na výlet pojedeme právě tehdy, když bude svítit slunce.“

Negace: „Slunce bude svítit a na výlet nepojedeme, nebo slunce svítit nebude a na výlet pojedeme.“

💡 Kratší tvar: stačí znegovat jednu stranu. „Na výlet pojedeme právě tehdy, když nebude svítit slunce.“ I to je správná negace, protože zase tvrdí, že výlet a slunce „nejdou dohromady“.

Kontrola na čísle: „Číslo 15 je sudé právě tehdy, když je dělitelné číslem 3.“ Číslo 15 není sudé, ale je dělitelné číslem 3. Strany se liší, výrok je nepravdivý. Negace platí díky druhé části „není sudé a je dělitelné číslem 3“ ✓.

---

Každý, existuje a žádný

Slova „každý“ (obecný kvantifikátor, ∀) a „existuje“ (existenční kvantifikátor, ∃) si při negaci vymění místa a negovaná je i vlastnost. Víc o kvantifikátorech najdeš v článku Kvantifikátory.

Představ si reklamu: „Všechny naše výrobky jsou veganské.“ Jak ji vyvrátíš? Nemusíš dokázat, že žádný výrobek není veganský. Stačí najít jeden, který veganský není.

⚠️ Větu „Každé dvojciferné číslo není dělitelné číslem 13.“ raději nepoužívej. V běžné řeči ji lidé chápou jako „ne každé“, a to je něco jiného. Řekni „žádné … není“.

⚠️ Nejčastější chyba: negovat „Každé prvočíslo je liché.“ větou „Žádné prvočíslo není liché.“ Obě věty jsou nepravdivé (2 je sudé, 3 je liché), takže jedna nemůže být negací druhé.

💡 K vyvrácení výroku „každý …“ stačí jediný případ. To je protipříklad — více v článku Protipříklad a důkazy.

Řešený příklad 3

Neguj výrok: „Každé číslo z množiny M = {3, 5, 9, 15} je liché a dělitelné číslem 3.“

1. Kvantifikátor „každé“ se změní na „existuje“.
2. Vlastnost „je liché a dělitelné číslem 3“ je potřeba znegovat. Je to konjunkce, takže podle De Morgana: „není liché nebo není dělitelné číslem 3“.
3. „Není liché“ znamená u celých čísel „je sudé“.
4. Negace: „Existuje číslo z množiny M, které je sudé nebo není dělitelné číslem 3.“

Kontrola: číslo 5 není dělitelné číslem 3. Původní výrok je proto nepravdivý a negace je pravdivá — právě díky číslu 5 ✓.

---

Alespoň a nejvýše

U počtů se „alespoň“ a „nejvýše“ navzájem vymění a číslo se posune o jedničku.

Příklad: „Počet prvočísel mezi čísly 4, 7, 9, 11, 15, 21 je alespoň 3.“ Negace: „… je nejvýše 2.“ Opravdu: když jich není alespoň 3, může jich být 0, 1 nebo 2. (Prvočísla jsou tu jen 7 a 11, takže pravdivá je negace.)

Reklama: „Alespoň 9 z 10 zubařů doporučuje tuto pastu.“ Negace: „Nejvýše 8 z 10 zubařů doporučuje tuto pastu.“

Školní řád: „Za pololetí smíš mít nejvýše 3 neomluvené pozdní příchody.“ Řád porušíš, když jich máš alespoň 4.

⚠️ Negace „alespoň 3“ není „nejvýše 3“. Číslo 3 by pak patřilo do obou vět a obě by platily zároveň.

---

Přehled pravidel

---

Nejčastější chyby

• Zapomenutá rovnost: negace „x < 5“ není „x > 5“, ale „x ≥ 5“.
• Spojka zůstala stejná: negace „A a B“ není „A′ a B′“. Spojka se mění na „nebo“.
• Negace implikace jako implikace: „Jestliže ne A, pak ne B“ není negace. Správně je „A a ne B“.
• „Každý“ → „žádný“: negace „každý je …“ je „existuje někdo, kdo není …“, ne „nikdo není …“.
• Dvojznačné „každé … není“: místo toho řekni „žádné … není“ nebo „existuje …, které není“.
• Alespoň a nejvýše bez posunu: negace „alespoň 3“ je „nejvýše 2“, ne „nejvýše 3“.

---

Ve zkratce

• Výrok a jeho negace nemohou platit zároveň ani zároveň neplatit — vždy platí právě jeden.
• U nerovností se rovnost „přesouvá“: < ↔ ≥, ≤ ↔ >, = ↔ ≠.
• De Morgan: při negaci se „a“ mění na „nebo“ a naopak.
• Negace implikace je „A a ne B“ — porušený slib, ne další implikace.
• „Každý“ ↔ „existuje … ne“, „existuje“ ↔ „žádný … ne“.
• „Alespoň k“ ↔ „nejvýše k − 1“.

---

Zkus si sám

1. Neguj nerovnost: x ≤ 7.
2. Neguj výrok: „V sobotu půjdu do kina nebo na koupaliště.“
3. Neguj výrok a urči, který z dvojice je pravdivý: „Číslo 35 je dělitelné číslem 5 a je dělitelné číslem 7.“
4. Neguj výrok: „Jestliže prší, pak si vezmu deštník.“
5. Neguj výrok: „Každý trojúhelník má alespoň jeden ostrý úhel.“
6. Neguj výrok: „V naší skupině jsou nejvýše 3 žáci s brýlemi.“

---

Řešení

1. x > 7. (Číslo 7 patří do původního výroku, proto v negaci rovnost není.)
2. „V sobotu nepůjdu do kina a nepůjdu na koupaliště.“ Jinak řečeno: „V sobotu nepůjdu ani do kina, ani na koupaliště.“
3. „Číslo 35 není dělitelné číslem 5 nebo není dělitelné číslem 7.“ Protože 35 = 5 · 7, původní výrok je pravdivý a negace nepravdivá.
4. „Prší a deštník si nevezmu.“ Žádné „jestliže … pak“.
5. „Existuje trojúhelník, který nemá žádný ostrý úhel.“ „Každý“ se změnil na „existuje“ a „má alespoň jeden“ na „nemá žádný“. Původní výrok je pravdivý, negace nepravdivá.
6. „V naší skupině jsou alespoň 4 žáci s brýlemi.“

---

Procvič si

• 🔢 Kvantifikátory
• ✏️ Negace výroku

👉 Další článek: Implikace, obrácená implikace a obměna