Představ si aplikaci na počasí, která se nikdy nesplete. Každý večer hlásí: „Zítra bude pršet, nebo nebude pršet.“ Úspěšnost 100 %. Užitek? Nulový. Jestli si máš vzít deštník, stejně nevíš.
Podobně mluví politik v televizi: „Ceny buď porostou, nebo neporostou.“ Splést se nemůže. Proč? Protože ve skutečnosti nic neřekl.
V logice mají takové věty jméno: tautologie. Jsou pravdivé vždy, jen díky tomu, jak jsou poskládané. Nezáleží na tom, co se opravdu stane. Jejich opakem jsou kontradikce, které neplatí nikdy.
Zní to jako zbytečnost? Právě naopak. Tautologie jsou pravidla, podle kterých správně usuzuje matematik i detektiv. A pomůžou ti odhalit úvahu, která jen vypadá logicky.
Obsah
- Tautologie: vždy pravda
- Kontradikce: vždy nepravda
- Ani tautologie, ani kontradikce
- Jak to ověřit tabulkou
- Řešené příklady
- Tautologie, které je třeba znát
- Usuzuj jako Sherlock
- Logická ekvivalence
- Častý omyl: potvrzení závěru
- Nejčastější chyby
- Ve zkratce
- Zkus si sám
- Řešení
- Procvič si
Tautologie: vždy pravda
Tautologie je složený výrok, který je pravdivý při každém ohodnocení výroků, ze kterých se skládá.Jinými slovy: za A, B, C můžeš dosadit cokoli pravdivého i nepravdivého. Výsledek bude vždy 1.
Nejjednodušší tautologie je zákon vyloučení třetího:
A ∨ A′
Buď platí A, nebo platí jeho negace. Třetí možnost není.
| A | A′ | A ∨ A′ |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
Příklady ze života:
- „Zítra bude pršet, nebo nebude pršet.“
- „Test napíšu, nebo ho nenapíšu.“
- „Číslo 1 001 je prvočíslo, nebo není prvočíslo.“
Všimni si posledního příkladu. Možná nevíš, jestli je 1 001 prvočíslo. Přesto víš, že celá věta je pravdivá. Tautologie platí bez ohledu na to, co víš o jejích částech.
Kontradikce: vždy nepravda
Kontradikce je složený výrok, který je vždy nepravdivý. Při každém ohodnocení vyjde 0.A ∧ A′
Výrok nemůže platit a zároveň neplatit.
| A | A′ | A ∧ A′ |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
Příklady ze života:
- „Číslo 7 je sudé a číslo 7 není sudé.“
- „Nabídka je úplně zdarma, zaplatíš jen 249 Kč.“
- „Jsem doma a nejsem doma.“
💡 Negace tautologie je vždy kontradikce a naopak. Když tautologii „otočíš“, z jedniček v posledním sloupci se stanou samé nuly.
Ani tautologie, ani kontradikce
Většina složených výroků není ani jedno. Jsou jednou pravdivé a jindy ne, podle toho, co dosadíš.
Například A ∨ B: „Půjdu do kina, nebo půjdu na trénink.“ Když nepůjdeš nikam, výrok neplatí. Když půjdeš aspoň na jedno, platí.
| Typ výroku | Kdy je pravdivý | Příklad |
|---|---|---|
| tautologie | vždy | A ∨ A′ |
| kontradikce | nikdy | A ∧ A′ |
| ani jedno | někdy ano, někdy ne | A ∨ B |
Jak to ověřit tabulkou
Udělej tabulku pravdivostních hodnot a podívej se na poslední sloupec.
| Poslední sloupec | Výrok je |
|---|---|
| samé 1 | tautologie |
| samé 0 | kontradikce |
| 1 i 0 | ani jedno |
Postup:
- Vypiš všechny kombinace. Pro 2 výroky jsou to 4 řádky, pro 3 výroky 8 řádků.
- Přidej sloupce pro mezivýsledky, od nejmenších závorek.
- Poslední sloupec je celý výrok.
Ověříme výrok (A ∧ B) ⇒ A:
| A | B | A ∧ B | (A ∧ B) ⇒ A |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
V posledním sloupci jsou samé jedničky, takže (A ∧ B) ⇒ A je tautologie. Slovy: jestliže platí A i B, pak určitě platí A. „Mám pero i tužku, takže mám pero.“
💡 Když chceš ukázat, že výrok není tautologie, stačí jeden řádek s nulou. Ten řádek je protipříklad.
⚠️ U implikace nezapomeň: když je předpoklad nepravdivý (0 ⇒ cokoli), implikace je pravdivá. Tady se dělá nejvíc chyb. Spojky si můžeš zopakovat v článku Logické spojky.
Řešené příklady
Řešený příklad 1: modus tollens
Je výrok ((A ⇒ B) ∧ B′) ⇒ A′ tautologie?
Slovy: „Jestliže prší, je mokrá silnice. Silnice není mokrá. Tedy neprší.“
| A | B | A ⇒ B | B′ | (A ⇒ B) ∧ B′ | A′ | celý výrok |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Řešený příklad 2: porušený slib
Je výrok (A ⇒ B) ∧ (A ∧ B′) tautologie, kontradikce, nebo ani jedno?
Slovy: „Jestliže se budeš učit, zvládneš test. A přitom ses učil a test jsi nezvládl.“
| A | B | A ⇒ B | B′ | A ∧ B′ | celý výrok |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Řešený příklad 3: sylogismus se třemi výroky
Je výrok ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) tautologie?
Slovy: „Jestliže zaspím, ujede mi autobus. Jestliže mi ujede autobus, přijdu pozdě. Tedy jestliže zaspím, přijdu pozdě.“
Označme P = (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C).
| A | B | C | A ⇒ B | B ⇒ C | P | A ⇒ C | P ⇒ (A ⇒ C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tautologie, které je třeba znát
| Tautologie | Název | Slovy |
|---|---|---|
| A ∨ A′ | zákon vyloučení třetího | buď platí, nebo neplatí |
| (A ∧ A′)′ | zákon sporu | nemůže platit i neplatit |
| (A ∧ B)′ ⇔ (A′ ∨ B′) | De Morganův zákon | „ne obojí“ = „aspoň jedno ne“ |
| (A ∨ B)′ ⇔ (A′ ∧ B′) | De Morganův zákon | „ani jedno“ = „jedno ne a druhé taky ne“ |
| (A ⇒ B) ⇔ (B′ ⇒ A′) | obměna implikace | prohoď a neguj |
| (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B | modus ponens (pravidlo odloučení) | platí předpoklad, tedy platí závěr |
| ((A ⇒ B) ∧ B′) ⇒ A′ | modus tollens | neplatí závěr, tedy neplatí předpoklad |
| ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) | sylogismus (tranzitivita implikace) | řetěz implikací |
Tautologiím tohoto typu říkáme také logické zákony. Nemusíš je biflovat nazpaměť. Stačí pochopit, proč platí. Každý z nich si můžeš kdykoli ověřit tabulkou.
Usuzuj jako Sherlock
Detektiv nehádá. Vyvozuje závěry, které nejdou vyvrátit. A ty stojí právě na tautologiích.
Modus ponens — platí předpoklad, tedy platí závěr:Modus tollens — neplatí závěr, tedy neplatí předpoklad. To je oblíbený trik Sherlocka Holmese:Jestliže má návštěvník na botách červenou hlínu, byl v parku u řeky. Návštěvník má na botách červenou hlínu. Tedy byl v parku u řeky.
Kdyby v noci do stáje přišel cizí člověk, pes by štěkal. Pes v noci neštěkal. Tedy nepřišel nikdo cizí.
Holmes z toho usoudil, že zloděj byl někdo, koho pes znal. Všimni si: důležitou stopou byla věc, která se nestala.
Sylogismus — řetěz:Jestliže zloděj přišel přes zahradu, má zablácené boty. Jestliže má zablácené boty, nechal stopy na koberci. Tedy jestliže zloděj přišel přes zahradu, na koberci jsou stopy.
💡 Modus tollens je vlastně obměna implikace v praxi. Víc o obměně najdeš v článku Implikace, obrácená implikace a obměna.
Logická ekvivalence
Když je ekvivalence X ⇔ Y tautologie, výroky X a Y jsou logicky ekvivalentní. Vždy mají stejnou pravdivostní hodnotu. Proto můžeš jeden nahradit druhým, například implikaci její obměnou.
V tabulce to poznáš snadno: sloupce pro X a Y jsou v každém řádku stejné.
Ověříme De Morganův zákon (A ∧ B)′ ⇔ (A′ ∨ B′):
| A | B | A ∧ B | (A ∧ B)′ | A′ | B′ | A′ ∨ B′ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Sloupce (A ∧ B)′ a A′ ∨ B′ jsou stejné, takže ekvivalence je tautologie.
Slovy:
- „Není pravda, že mám čas i peníze.“
- „Nemám čas, nebo nemám peníze.“
Obě věty říkají totéž.
⚠️ Častá chyba: (A ∧ B)′ není A′ ∧ B′. „Není pravda, že mám čas i peníze“ neznamená „nemám čas a nemám peníze“. Možná mi chybí jen jedno.
Častý omyl: potvrzení závěru
Na sociálních sítích najdeš takové úvahy každý den:
Jestliže je výrobek kvalitní, má hodně kladných recenzí. Tento výrobek má hodně kladných recenzí. Tedy je kvalitní.
Zní to rozumně. Jenže recenze mohly být koupené. Úvaha má tvar:
((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A
Vypadá jako modus ponens, ale není to tautologie. Ověřme to.
Řešený příklad 4: úvaha, která jen vypadá správně
Slovy: „Jestliže prší, je mokrá silnice. Silnice je mokrá. Tedy prší.“
| A | B | A ⇒ B | (A ⇒ B) ∧ B | ((A ⇒ B) ∧ B) ⇒ A |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
⚠️ Z pravdivého závěru nelze usoudit, že platí předpoklad.
Jeho dvojče je popření předpokladu: „Jestliže prší, je mokrá silnice. Neprší. Tedy silnice není mokrá.“ Ani to není tautologie. Kropicí vůz zase celou úvahu pokazí.
| Úvaha | Tvar | Správná? |
|---|---|---|
| modus ponens | A ⇒ B, platí A, tedy B | ano |
| modus tollens | A ⇒ B, neplatí B, tedy neplatí A | ano |
| potvrzení závěru | A ⇒ B, platí B, tedy A | ne |
| popření předpokladu | A ⇒ B, neplatí A, tedy neplatí B | ne |
Nejčastější chyby
- Zkontroluješ jeden nebo dva řádky a prohlásíš výrok za tautologii. Musíš ověřit všechny řádky.
- Myslíš si, že co není tautologie, je kontradikce. Většina výroků není ani jedno.
- Zapomeneš řádek. Pro 2 výroky jsou 4 řádky, pro 3 výroky 8.
- Implikaci s nepravdivým předpokladem označíš za nepravdivou. Přitom 0 ⇒ 0 i 0 ⇒ 1 je 1.
- Negaci konjunkce děláš „po kouscích“: (A ∧ B)′ jako A′ ∧ B′. Správně je A′ ∨ B′.
- Potvrzení závěru nebo popření předpokladu považuješ za správnou úvahu.
Ve zkratce
- Tautologie je pravdivá vždy, v posledním sloupci tabulky jsou samé 1.
- Kontradikce je nepravdivá vždy, v posledním sloupci jsou samé 0.
- Většina výroků není ani jedno. K vyvrácení tautologie stačí jeden řádek s 0.
- Tautologie jsou logické zákony: De Morgan, obměna, modus ponens, modus tollens, sylogismus.
- Když je X ⇔ Y tautologie, X a Y jsou logicky ekvivalentní a můžeš je zaměňovat.
- „Platí B, tedy platí A“ není správná úvaha.
Zkus si sám
Rozhodni, jestli je výrok tautologie, kontradikce, nebo ani jedno. Pomoz si tabulkou.
- A ⇒ A („Jestliže mám hlad, mám hlad.“)
- A ⇔ A′
- A ⇒ (A ∨ B) („Jestliže mám psa, mám psa nebo kočku.“)
- (A ∨ B) ⇒ A
- (A ∨ B) ∧ A′ ∧ B′
- ((A ⇒ B) ∧ A′) ⇒ B′ („Jestliže prší, je mokrá silnice. Neprší. Tedy silnice není mokrá.“)
Řešení
- Tautologie. 1 ⇒ 1 = 1 i 0 ⇒ 0 = 1.
- Kontradikce. A a A′ mají vždy opačnou hodnotu, takže ekvivalence nikdy neplatí.
- Tautologie. Když A = 1, je i A ∨ B = 1. Když A = 0, implikace platí automaticky.
- Ani jedno. Pro A = 0, B = 1 vyjde 1 ⇒ 0 = 0, pro A = 1 vyjde 1.
- Kontradikce. A′ ∧ B′ platí jen pro A = B = 0, ale tehdy A ∨ B = 0.
- Ani jedno. Pro A = 0, B = 1 vyjde (1 ∧ 1) ⇒ 0 = 0, v ostatních řádcích 1. Je to popření předpokladu.
Procvič si
👉 Další článek: Úsudky a hypotézy