Úsudky a hypotézy

Projíždíš sociální sítě a vyskočí reklama: „Všichni úspěšní lidé vstávají v pět. Vstávej v pět a budeš úspěšný!“ Zní to přesvědčivě. Ale opravdu z toho něco plyne?

Jiný příspěvek: „Když je restaurace dobrá, stojí před ní fronta. Před touhle restaurací stojí fronta. Takže je dobrá.“ Zase úvaha, která vypadá logicky. A zase je v ní díra.

Detektiv v seriálu dělá totéž, jen správně. Z několika faktů vyvodí závěr, který musí platit. V tomto článku se naučíš rozeznat správný úsudek od chybného. A uvidíš, jak matematici pracují s hypotézami, tedy s tvrzeními, která tuší, ale ještě je nedokázali.

---

Obsah

• Co je úsudek
• Kdy je úsudek správný
• Správný úsudek a pravdivý závěr nejsou totéž
• Tvary úsudků
• Jak ověřit úsudek tabulkou
• Úsudky se slovy všichni a někteří
• Hypotéza
• Hypotézy, které padly
• Hypotézy, které platí
• Slavné nevyřešené hypotézy
• Řešené příklady
• Nejčastější chyby
• Ve zkratce
• Zkus si sám
• Řešení
• Procvič si

---

Co je úsudek

Úsudek je úvaha, při které z několika výroků odvodíme nový výrok.

• Výroky, ze kterých vycházíme, jsou předpoklady (premisy).
• Výrok, ke kterému dojdeme, je závěr.

Úsudek zapisujeme pod sebe. Předpoklady jdou nad čáru, závěr pod ni:

Když prší, je mokrá silnice.

Prší.

─────────────

Tedy je mokrá silnice.

Označme A = „prší“ a B = „je mokrá silnice“. Pak má úsudek tvar: předpoklady A ⇒ B a A, závěr B.

💡 Slovo „tedy“ (nebo „proto“, „z toho plyne“) ti prozradí, kde začíná závěr.

---

Kdy je úsudek správný

Úsudek je správný (platný), když závěr z předpokladů plyne vždy. Jinými slovy: jsou-li všechny předpoklady pravdivé, musí být pravdivý i závěr. Bez výjimky.

Dá se to říct i jazykem tautologií. Úsudek s předpoklady P1, P2 a závěrem Z je správný právě tehdy, když výrok

(P1 ∧ P2) ⇒ Z

je tautologie. Co je tautologie, najdeš v článku Tautologie a kontradikce.

Úsudek je chybný, když existuje aspoň jedna situace, ve které jsou všechny předpoklady pravdivé a závěr nepravdivý. Takové situaci říkáme protipříklad k úsudku.

---

Správný úsudek a pravdivý závěr nejsou totéž

Správnost úsudku vypovídá o tvaru úvahy, ne o tom, jestli je závěr pravdivý. To je překvapivé, tak se na to podívejme.

Správný úsudek, nepravdivý závěr:

Všechny kočky umějí létat.

Micka je kočka.

─────────────

Tedy Micka umí létat.

Úvaha je postavená bezchybně. Kdyby všechny kočky létaly, létala by i Micka. Problém je v prvním předpokladu: ten je nepravdivý. Správný úsudek zaručuje pravdivý závěr jen tehdy, když jsou pravdivé předpoklady.

Chybný úsudek, pravdivý závěr:

Je-li číslo dělitelné šesti, je sudé.

Číslo 12 je sudé.

─────────────

Tedy 12 je dělitelné šesti.

Závěr náhodou platí. Úvaha je ale chybná. Stejným postupem bys „dokázal“, že 8 je dělitelné šesti. Pravdivý závěr chybný úsudek nezachrání.

⚠️ Když někdo napadne tvůj závěr, máš dvě možnosti obrany: ukázat, že předpoklady platí, a ukázat, že úvaha je správná. Potřebuješ obě.

---

Tvary úsudků

Některé tvary úsudků se opakují pořád dokola. Vyplatí se je znát. Negaci píšeme s čárkou, například A′ = „neplatí A“.

Proč jsou poslední tři chybné? Protože umíme najít protipříklad:

• Potvrzení závěru: neprší, ale je mokro, protože jela kropicí auta (A = 0, B = 1).
• Popření předpokladu: stejná situace. Neprší, a přesto je mokro.
• Buď, anebo: můžeš mít hlad i žízeň zároveň (A = 1, B = 1). Logické „nebo“ připouští obě možnosti.

💡 Modus tollens je oblíbený nástroj detektivů. Sherlock Holmes jednou usoudil: „Kdyby přišel cizí člověk, pes by štěkal. Pes neštěkal. Tedy nepřišel nikdo cizí.“

---

Jak ověřit úsudek tabulkou

Postup je jednoduchý:

• Udělej tabulku pravdivostních hodnot pro všechny předpoklady a závěr.
• Najdi řádky, kde jsou všechny předpoklady 1.
• Má-li závěr v každém takovém řádku 1, je úsudek správný.
• Je-li v některém takovém řádku závěr 0, je úsudek chybný. Ten řádek je protipříklad.

Ověříme najednou modus tollens a popření předpokladu. Oba používají stejné sloupce.

Modus tollens (předpoklady A ⇒ B a B′, závěr A′): oba předpoklady jsou 1 jen ve čtvrtém řádku. Tam je A′ = 1. Úsudek je správný. Popření předpokladu (předpoklady A ⇒ B a A′, závěr B′): oba předpoklady jsou 1 ve třetím i čtvrtém řádku. Ve třetím řádku je B′ = 0. Úsudek je chybný a třetí řádek je protipříklad: neprší, ale je mokro.

💡 Nemusíš vypisovat celý velký výrok (P1 ∧ P2) ⇒ Z. Stačí hledat „špatný řádek“: předpoklady 1, závěr 0.

---

Úsudky se slovy všichni a někteří

Spousta úsudků v běžném životě neobsahuje „jestliže, pak“, ale slova jako všichni, každý, někteří. Pomůže si je představit jako skupiny (množiny).

Druhý úsudek je vlastně potvrzení závěru v převleku. „Všichni psi jsou savci“ znamená „je-li něco pes, je to savec“.

U třetího úsudku si představ třídu, kde pět žáků hraje fotbal jako útočníci. Brankáři jsou dospělí hráči z městského klubu. Oba předpoklady platí, závěr ne.

⚠️ Dvě věty se slovem „někteří“ za sebou téměř nikdy nedávají jistý závěr. Skupiny se nemusí překrývat tam, kde bys chtěl.

Víc o slovech „všichni“ a „někteří“ najdeš v článku Kvantifikátory.

---

Hypotéza

Hypotéza je tvrzení, které na základě pozorování tušíme, ale ještě jsme ho nedokázali.

Matematici hypotézy nevymýšlejí jen tak. Většinou si všimnou vzoru v příkladech. Zkus to i ty:

Výsledky jsou 1, 4, 9, 16, 25. Samé druhé mocniny! Vyslovíme hypotézu:

Součet prvních n lichých čísel je n².

Co dál? Hypotéza má jen dva možné osudy:

⚠️ Pět příkladů, ani pět milionů příkladů, není důkaz. Jak se dělají důkazy a protipříklady, najdeš v článku Protipříklad a důkazy.

Tahle hypotéza mimochodem platí. Představ si čtverec ze žetonů. Ze čtverce 2 × 2 uděláš čtverec 3 × 3 tak, že přidáš „rožek“ z 5 žetonů. Ze čtverce 3 × 3 uděláš 4 × 4 přidáním 7 žetonů. Každý další rožek má o 2 žetony víc, tedy další liché číslo.

---

Hypotézy, které padly

Některé hypotézy vypadají neprůstřelně. Fungují desítkykrát za sebou a pak najednou ne.

Eulerův mnohočlen n² + n + 41. Dosaď n = 1, 2, 3, …

Pro n = 1 až 39 vyjde vždy prvočíslo. Hypotéza „vždy vyjde prvočíslo“ by vypadala hodně silně. A při n = 40 padne: 1 600 + 40 + 41 = 1 681 = 41 · 41.

Čísla 2ⁿ − 1. Pro n = 2 vyjde 3, pro n = 3 vyjde 7. Obě jsou prvočísla. Lákavá hypotéza: „2ⁿ − 1 je vždy prvočíslo.“ Jenže pro n = 4 vyjde 2⁴ − 1 = 15 = 3 · 5. Prvočísla a 2n + 1. Hypotéza: „Je-li n prvočíslo, pak 2n + 1 je prvočíslo.“

Tři úspěchy, pak protipříklad n = 7.

💡 Když testuješ hypotézu, nezkoušej jen první dvě tři čísla. Zkus i větší a „nepohodlné“ případy.

---

Hypotézy, které platí

Některé hypotézy se dají dokázat i bez složité matematiky. Stačí zapsat čísla obecně.

Součet tří po sobě jdoucích čísel je dělitelný třemi. Zkouška: 4 + 5 + 6 = 15, 10 + 11 + 12 = 33. Důkaz: čísla zapíšeme jako n, n + 1, n + 2. Jejich součet je

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 · (n + 1).

Výsledek je trojnásobek celého čísla, takže je dělitelný třemi. Z hypotézy se stala věta. ∎

Součin dvou po sobě jdoucích čísel je sudý. Zkouška: 3 · 4 = 12, 7 · 8 = 56. Důkaz: ze dvou po sobě jdoucích čísel je jedno vždy sudé. A když násobíš sudým číslem, výsledek je sudý. ∎ Velká Fermatova věta. Kolem roku 1637 si Pierre de Fermat poznamenal na okraj knihy: rovnice xⁿ + yⁿ = zⁿ nemá pro n > 2 řešení v kladných celých číslech. Dodal, že má nádherný důkaz, ale okraj je na něj příliš úzký. Přes 350 let to byla jen hypotéza. Dokázal ji až Andrew Wiles v roce 1994. Teprve pak se z ní opravdu stala věta.

---

Slavné nevyřešené hypotézy

Některé hypotézy čekají na důkaz nebo protipříklad dodnes. Počítače je ověřily pro obrovská čísla, a přesto to nestačí.

Kdybys některou z nich dokázal nebo vyvrátil, zapsal by ses do dějin matematiky.

---

Řešené příklady

Řešený příklad 1: výlet vlakem

Je úsudek správný?

Na výlet pojedeme vlakem, nebo autobusem.

Pojedeme vlakem.

─────────────

Tedy nepojedeme autobusem.

Označme A = „pojedeme vlakem“, B = „pojedeme autobusem“. Předpoklady jsou A ∨ B a A, závěr B′.

Oba předpoklady (A ∨ B a A) jsou 1 v prvním a druhém řádku. V prvním řádku je závěr B′ = 0.

Závěr: úsudek je chybný. Protipříklad: část cesty pojedete vlakem a část autobusem. Logické „nebo“ to dovoluje.

Porovnej se správným vylučovacím úsudkem: „Pojedeme vlakem, nebo autobusem. Nepojedeme vlakem. Tedy pojedeme autobusem.“ Předpoklady A ∨ B a A′ jsou 1 jen ve třetím řádku a tam B = 1.

Řešený příklad 2: kopačky

Je úsudek správný?

Všichni hráči našeho týmu mají kopačky značky X.

Tomáš má kopačky značky X.

─────────────

Tedy Tomáš hraje za náš tým.

Představ si skupiny. Hráči týmu jsou celí uvnitř skupiny „mají kopačky X“. Tomáš je v té větší skupině. Nikde ale není napsáno, že je i v té menší.

Závěr: úsudek je chybný. Protipříklad: Tomáš hraje za jiný klub a koupil si stejné kopačky. Jde o potvrzení závěru.

Správná verze by zněla: „Všichni hráči našeho týmu mají kopačky X. Tomáš hraje za náš tým. Tedy má kopačky X.“

Řešený příklad 3: hypotéza s číslem 11

Hypotéza: „Pro každé přirozené číslo n je n² − n + 11 prvočíslo.“

Zkusíme několik hodnot:

Pro n = 1 až 10 vyjde vždy prvočíslo. Proč zkusit právě n = 11? Pro n = 11 jsou všechny tři členy dělitelné jedenácti: 121 − 11 + 11 = 121.

Závěr: hypotéza je vyvrácená, protipříklad je n = 11.

Řešený příklad 4: rozdíl čtverců

Hypotéza: „Rozdíl druhých mocnin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je lichý.“

Zkouška: 3² − 2² = 5, 7² − 6² = 13, 10² − 9² = 19. Zatím sedí. Teď důkaz. Čísla zapíšeme jako n a n + 1:

(n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1.

Číslo 2n + 1 je vždy liché.

Závěr: hypotéza platí, stala se z ní věta. ∎

---

Nejčastější chyby

• Zaměňuješ správnost úsudku s pravdivostí závěru. Správný úsudek s nepravdivým předpokladem může dát nepravdivý závěr.
• Myslíš si, že když závěr platí, byla úvaha dobrá. Pravdivý závěr chybný úsudek nezachrání.
• Používáš potvrzení závěru: „A ⇒ B, platí B, tedy platí A.“
• Používáš popření předpokladu: „A ⇒ B, neplatí A, tedy neplatí B.“
• Čteš „nebo“ jako „buď, anebo“. V logice A ∨ B připouští i obě možnosti zároveň.
• Považuješ hypotézu za dokázanou, protože funguje na spoustě příkladů. Vzpomeň si na n² + n + 41.
• Protipříklad hledáš jen mezi malými čísly a vzdáš to příliš brzy.

---

Ve zkratce

• Úsudek má předpoklady a závěr. Je správný, když závěr z předpokladů plyne vždy.
• Úsudek je správný právě tehdy, když (P1 ∧ P2) ⇒ Z je tautologie.
• Chybný úsudek odhalíš řádkem tabulky, kde jsou předpoklady 1 a závěr 0.
• Správné tvary: modus ponens, modus tollens, vylučovací úsudek, řetězení.
• Chybné tvary: potvrzení závěru, popření předpokladu, „nebo“ čtené jako „buď, anebo“.
• Hypotéza je tušené, nedokázané tvrzení. Důkazem se z ní stane věta, protipříkladem padne.

---

Zkus si sám

1. Je úsudek správný? „Když mám horečku, jsem nemocný. Nemám horečku. Tedy nejsem nemocný.“
2. Je úsudek správný? „Když se naučíš slovíčka, dostaneš jedničku. Nedostal jsi jedničku. Tedy ses nenaučil slovíčka.“
3. Je úsudek správný? „Dnes je pondělí, nebo úterý. Není pondělí. Tedy je úterý.“
4. Je úsudek správný? „Všechny čtverce jsou obdélníky. Tento útvar je obdélník. Tedy je to čtverec.“
5. Ověř hypotézu: „Pro každé přirozené číslo n je 6n − 1 prvočíslo.“
6. Dokaž hypotézu: „Součet dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je lichý.“

---

Řešení

1. Chybný. Je to popření předpokladu. Protipříklad: máš chřipku bez horečky.
2. Správný. Je to modus tollens. Jestli je první předpoklad pravdivý, je jiná otázka. Tvar úvahy je v pořádku.
3. Správný. Je to vylučovací úsudek: A ∨ B, A′, tedy B.
4. Chybný. Je to potvrzení závěru. Protipříklad: obdélník se stranami 2 cm a 5 cm.
5. Vyvrácená. Pro n = 1 až 5 vyjde 5, 11, 17, 23, 29, samá prvočísla. Pro n = 6 vyjde 35 = 5 · 7.
6. Platí. Čísla zapíšeme jako n a n + 1. Součet je n + (n + 1) = 2n + 1, a to je liché číslo. ∎

---

Procvič si

• 🧠 Je úsudek správný?
• 🔬 Hypotéza: platí, nebo ne?
• 🔍 Najdi protipříklad

👉 Další článek: Kvantifikátory